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1、第第6 6课时统计案例课时统计案例复习课复习课内容索引0102知识梳理知识梳理 构建体系构建体系专题归纳专题归纳 核心突破核心突破知识梳理知识梳理 构建体系构建体系【知识网络】【知识网络】【要点梳理要点梳理】1.成对数据(xi,yi)的线性分析的过程有哪些?请填空:第一步,画散点图,观察所有点看上去是否在一条直线附近波动,若在,则进行下一步;若不在,则不具有线性关系.第二步,计算样本相关系数2.怎样进行独立性检验?请填空:AB总计B1B2A1aba+bA2cdc+d总计a+cb+dn=a+b+c+d第三步,根据2的值下结论,当22.706时,没有充分的证据判断变量A,B有关联,可以认为变量A,
2、B是没有关联的;当2 2.706 时,有90%的把握判断变量A,B有关联;当2 3.841 时,有95%的把握判断变量A,B有关联;当2 6.635 时,有99%的把握判断变量A,B有关联.【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“”,错误的画“”.(1)一元线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线,使之贴近这些样本点的数学方法.()(2)利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示.()(3)通过线性回归方程 可以估计和观测变量的取值和变化趋势.()(4)因为由任何一组成对数据观测值都可以求得一个线性回归方程,所以没有必要进行相关性检验.()(5)若两个变
3、量的样本相关系数r0,则两个变量正相关.()(6)两个变量的样本相关系数越大,它们的相关程度越强.()(7)若两个变量负相关,则其回归直线的斜率为负.()(8)2的大小是判断事件A与B是否有关的唯一根据.()(9)若26.635,则有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病.()专题归纳专题归纳 核心突破核心突破 专题整合整合专题一成对数据的线性相关性分析【例1】某商场经营一批进价是30元/台的小商品,在市场试验中发现,此商品的销售单价X(X取整数)(单位:元)与日销售量Y(单位:台)之间有如表6-2所示关系:表6-2(1)画出散点图,并判断Y与X是否具有
4、线性关系;(2)求X与Y之间的样本相关系数,并检验是否线性相关;(3)若线性相关,求日销售量Y对销售单价X的线性回归方程,并预测销售单价为51元时,日销售量为多少?X35404550Y56412811分析:先由散点图和样本相关系数确定Y与X具有相关关系,再用求线性回归方程的方法求出回归方程,最后进行相应的预测.解:(1)散点图如答图6-1,从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近,因此两个变量线性相关.答图6-1 根据已给的数据,寻找规律,求出线性回归方程不是最终目的,最终目的应是当一个变量取某个值时,预测另一个变量的取值.当然,预测的值是一个估计值,与实际的值有一定误差.【变式训练1】某工
5、厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如表6-3所示数据:表6-3(1)求X与Y之间的样本相关系数,并检验是否线性相关;(2)求线性回归方程(3)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(2)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)单价X/元88.28.48.68.89销量Y/件908483807568专题二独立性检验的应用【例2】某地区甲校高二年级有1 100人,乙校高二年级有900人,为了统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩,采用分层随机抽样的方法在两校共抽取了200名学生
6、的数学成绩,如表6-4、表6-5:(已知本次测试合格线是50分,两校合格率均为100%)甲校高二年级数学成绩:表6-4分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数10253530 x乙校高二年级数学成绩:表6-5(1)计算x,y的值,并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分(精确到1分);(2)若数学成绩不低于80分为优秀,低于80分为非优秀,根据以上统计数据填写如表6-6所示的22列联表,并回答能否有95%的把握认为“两个学校的数学成绩有差异”?表6-6分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数153025y5数学成绩学校总计甲校乙校优秀非优秀
7、总计分析:(1)利用分布表所给数据分别求得甲、乙两校的平均分.(2)根据条件填好列联表,再求得2的值,与3.841比较作出判断.解:(1)依题意,甲校应抽取110人,乙校应抽取90人,故x=10,y=15,估计甲校平均分为(2)数学成绩学校总计甲校乙校优秀402060非优秀7070140总计11090200解决一般的独立性检验问题的步骤第一步,确定a,b,c,d,n的值,列出22列联表;第三步,作出结论.将2的值与三个临界值2.706,3.841,6.635作比较.当22.706时,认为变量A,B是没有关联的;当22.706时,有90%的把握判断变量A,B有关联;当23.841时,有95%的把
8、握判断变量A,B有关联;当26.635时,有99%的把握判断变量A,B有关联.【变式训练2】某教育机构为了研究成年人具有大学专科以上学历(包括大学专科)和对待教育改革态度的关系,随机抽取了392名成年人进行调查,所得数据如表6-7所示:表6-7学历情况态度总计积极支持教育改革不太赞成教育改革大学专科以上(包括大学专科)39157196大学专科以下29167196总计68324392对于教育机构的研究项目,根据上述数据能得出什么结论?解:由题表中的数据得因为1.782.706,所以我们没有充分理由判断成年人具有大学专科以上学历(包括大学专科)和对待教育改革的态度有关.高考体高考体验考点一线性回归
9、分析1.(2020全国高考)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加,为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,20),其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘地块数).(2)求样本(xi,yi)(i=1,2,20)的相关系数(精确到0.01).(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,
10、请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.(3)分层随机抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对200个地块进行分层抽样.理由如下:由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关关系.由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层随机抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本的代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.2.(2018全国高考)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.(第2题)为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了Y与时间变量T的两个线性
11、回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量T的值依次为1,2,17)建立模型:Y=-30.4+13.5T;根据2010年至2016年的数据(时间变量T的值依次为1,2,7)建立模型:Y=99+17.5T.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值.(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?请说明理由.解:(1)利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为Y=-30.4+13.519=226.1(亿元).利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为Y=99+17.59=256.5(亿元).(2)利用模型得到的预测值更可靠.理由如下:
12、(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线Y=-30.4+13.5T上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型Y=99+17.5T可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠.(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额
13、220亿元,由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型得到的预测值更可靠.3.(2017全国高考文科)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95(1)求(xi,i)(i=1,2,16)的样本相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|400空气质量好空气质量不好解:(1)由所给数据,得该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表:空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为 (10020+30035+50045)=350.(3)根据所给数据,可得22列联表:空气质量情况锻炼人次400400空气质量好3337空气质量不好228由于5.8203.841,因此有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
