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1、22成对数据的线性相关性成对数据的线性相关性第七章第七章内容索引0102自主预习自主预习 新知导学新知导学合作探究合作探究 释疑解惑释疑解惑03随堂练习随堂练习课标定位素养阐释1.结合实例,了解样本相关系数的统计含义.2.了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.3.结合实例,会通过样本相关系数比较多组成对数据的相关性.4.通过标准化数据向量的夹角余弦值推导样本相关系数公式,体现数学抽象素养.5.通过计算多组成对数据的样本相关系数,加强数学运算素养.自主预习自主预习 新知导学新知导学相关系数【问题思考】1.给定两个随机变量(X,Y)的6组成对数据:(-2,4),(-1,1),(0,0),(1
2、,1),(2,4),(3,9).(1)请利用最小二乘法,求Y关于X的线性回归方程.(2)请画出散点图,判断随机变量X和Y是否具有线性关系.提示:如答图7-2-1.从散点图发现,X和Y不具有线性关系.答图7-2-1(3)有的散点图的各点并不集中在一条直线的附近,但按照求线性回归方程的步骤仍然求得回归直线,那么这样的回归直线有没有实际意义呢?在怎样的情况下求得的线性回归方程才有实际意义呢?提示:没有,需要对X,Y的线性相关性进行检验,在具有线性相关的前提下求得的线性回归方程才有实际意义.(3)样本(线性)相关系数r的性质:r的取值范围:-1,1.|r|值越接近 1,随机变量之间的线性相关程度越强;
3、|r|值越接近 0,随机变量之间的线性相关程度越弱.当r0时,两个随机变量的值总体上变化趋势 相同,此时称两个随机变量正相关;当r0时,两个随机变量的值总体上变化趋势 相反,此时称两个随机变量 负相关;当r=0时,此时称两个随机变量 线性不相关.答案:0【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“”,错误的画“”.(1)通过散点图一定可以看出两个变量之间的线性相关性强弱.()(2)通过散点图可以看出正相关与负相关有明显的区别.()(3)两个随机变量之间的线性相关程度越强,样本相关系数r越接近1.()(4)在散点图中,若点散布在从左下角到右上角的区域,则这两个随机变量正相关.()
4、(5)样本相关系数r可以定量地反映出变量间的线性相关程度,明确地给出有无必要建立两变量间的线性回归方程.()合作探究合作探究 释疑解惑释疑解惑探究一探究一判断两判断两变量量间的相关性的相关性【例1】为了研究钢铁碳含量与电阻的关系,随机抽取了7组数据,如表7-2-1:(1)画出散点图,判断碳含量与电阻之间的相关性;碳含量/%0.100.300.400.550.700.800.9520时电阻/1518192122.623.826表7-2-1 分析:(1)以x轴表示碳含量,y轴表示电阻,作出散点图直观判断.(2)利用公式计算样本相关系数r,用|r|与0或1比较,进而作出判断.解:(1)画出散点图如答
5、图7-2-2.由散点图可以看出,这些点大致分布在一条直线的附近,具有很强的正相 关性.答图7-2-2(2)列表如下:1.判断两个变量之间的线性关系的方法:一是用散点图直观观察,二是计算样本相关系数r,|r|值越接近1,随机变量之间的线性相关程度越强.准确的判断方法是先用散点图定性分析,再用样本相关系数r进行定量研究.2.利用样本相关系数r判断相关关系,需要应用公式计算出r的值,由于数据较大,需要借助计算器,计算应该特别细心,不能出现计算错误.【变式训练1】表7-2-2是随机抽取的8对母女的身高数据,试根据这些数据探讨Y与X之间的关系.表7-2-2母亲身高X/cm1541571581591601
6、61162163女儿身高Y/cm155156159162161164165166解:以x轴表示母亲身高,y轴表示女儿身高,可得相应的散点图,如答图7-2-3.由散点图可知,母亲身高和女儿身高之间有很强的正相关性.答图7-2-3 下面计算样本相关系数r,列表如下:探究二探究二利用利用样本相关系数本相关系数进行行线性回性回归分析分析【例2】已知某地每单位面积菜地年平均施用氮肥量X(单位:kg)与每单位面积蔬菜年平均产量Y(单位:t)的数据如表7-2-3:(1)求X与Y之间的样本相关系数,并检验是否线性相关;(2)若线性相关,求蔬菜产量Y与施用氮肥量X之间的线性回归方程,并估计每单位面积菜地年平均施
7、氮肥150 kg时,每单位面积蔬菜的年平均产量.表7-2-3 年份20082009201020112012201320142015X/kg7074807885929095Y/t5.16.06.87.89.010.210.012.0年份2016201720182019202020212022X/kg92108115123130138145Y/t11.511.011.812.212.512.813.0解:(1)列出下表,并用科学计算器进行相关计算:所以线性回归方程为Y=0.646 3+0.093 7X.所以当每单位面积菜地年平均施氮肥150 kg时,估计每单位面积蔬菜的年平均产量为0.646 3+
8、0.093 715014.701(t).在研究两个变量之间的关系时,应先进行相关性检验,若具备线性相关关系,则再求线性回归方程.若本身两个变量不具备线性相关关系,则即使求出线性回归方程也是毫无意义的,而且用其估计和预测的量也是不可信的.【变式训练2】为了分析学生初中升学的数学成绩对高一数学学习的影响,在高一年级随机抽取10名学生,了解他们的入学数学成绩和高一期末考试数学成绩如表7-2-4:表7-2-4学生编号12345678910入学数学成绩X63674588817152995876高一期末考试数学成绩Y65785282928973985675(1)画出散点图;(2)对变量X与Y进行相关性检验
9、,如果X与Y之间具有线性相关关系,求出线性回归方程;(3)若某学生入学的数学成绩为80分,试估计他在高一期末考试中的数学成绩.解:(1)散点图如答图7-2-4.答图7-2-4(3)若某学生入学的数学成绩为80分,代入(2)中的方程可求得Y=22.410 8+0.765 568084,即这名学生在高一期末考试中的数学成绩的预测值为84分.思想方法思想方法数形结合思想在线性回归分析中的应用【典例】某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表7-2-5所示.表7-2-3年收入X/万元24466677810年饮食支出Y/万元0.91.4 1.62.02.11.91.82.12.22.3根据表中数据
10、,判断两个变量是否线性相关,计算样本相关系数,并刻画它们的相关程度.分析:先画出散点图,观察散点图,可以看出样本点都集中在一条直线的附近,由此可以判定家庭的年收入和年饮食支出线性相关.解:作散点图如图7-2-1.图7-2-1由散点图可知家庭的年收入和年饮食支出之间存在近似的线性关系.根据样本相关系数的定义,随堂练习随堂练习1.(多选题)下面的各图中,散点图与样本相关系数r符合的有().解析:对于A,散点图上所有点都在一条斜率小于0的直线上,所以样本相关系数r=-1,A正确;对于B,散点图上所有点都在一条斜率大于0的直线上,所以样本相关系数r=1,B错误;对于C,散点图上所有点从左到右是向下的带
11、状分布,所以样本相关系数-1r0,C正确;对于D,样本数据不具有线性相关性,样本相关系数r=0,D正确.故选ACD.答案:ACD答案:A 3.为考虑广告费用X(单位:万元)与销售额Y(单位:万元)之间的关系,抽取了5家餐厅,得到如下数据:则X与Y之间的样本相关系数为.(结果精确到0.000 1)广告费用X/万元1.04.06.010.014.0销售额Y/万元19.044.040.052.053.0答案:0.858 8 4.某市20182022年居民家庭平均年收入X(单位:万元)与平均年支出Y(单位:万元)的统计资料如下表所示.年份20182019202020212022平均年收入X11.512.11313.315平均年支出Y6.88.89.81012根据统计资料,居民家庭平均年收入的中位数是,家庭平均年收入与平均年支出的样本相关系数r=(结果精确到0.01).解析:按照中位数的定义,将5个数据按从小到大的顺序排列,则中间一个数是中位数,即中位数为13.答案:130.97
