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1、梯形综合练习一、梯形的主要特征及常用识别方法1、只有一组对边平行的四边形叫做梯形；2、两腰相等的梯形叫做等腰梯形；3、有一个角是直角的梯形叫做直角梯形；4、等腰梯形是一个轴对称图形，对称轴是经过两底边中点的直线（如图1）。| 等腰梯形 fT同一底边上的两个内角相等的梯形；:八 等腰梯形两条对角线相等的梯形。区 ; 京识别I5、对梯形问题常作的辅助线有（如图2）：图1（1）平移一腰，如图2中的DE或CF，把梯形ABCD转化为一个平行四边形和一个三角形，;（2）作底边上的两条高，如图2中的AG和DH，把梯形分解成一个矩形和两个直角三角形;（3）平移一条对角线，如图2中的DM，使 BDM与梯形ABC
2、D的面积相等；（4）过一腰中点平移另一腰，如图2中的ST，点P是CD的中点，使平行四边形ABST与 梯形ABCD的面积相等；（5）连结一腰端点与另一腰的中点并延长与底相交，如图2中的AM，点P是CD的中点， 使ABM与梯形ABCD的面积相等。设它们的交点为E，ZB=ZC，试说明图2二、典型例题例1.如图3，分别延长梯形ABCD的腰BA、CDAB与CD的大小关系？并说明理由。解：例2、如图5,等腰梯形ABCD, ADBC，周长为22cm, AD=5cm, AB=4cm，求ZB的度数。解：例3.如图5,在直角梯形ABCD中，ADBC, CDBC, E为BC边上的点，以BD为对称 轴ABD与ABED
3、重合。若ZA=150o, AB=4cm，求梯形ABCD的高CD的长。解：ADBC, ACBD, AD+BC=10, DEBC 于 E, 求例4.如图6,在等腰梯形ABCD中, DE的长。解：“练习1”：1. 下列说法正确的是()(A)平行四边形是一种特殊的梯形；(B)等腰梯形的两底角相等；(C)等腰梯形不可能是直角梯形；(D)有两邻角相等的梯形是等腰梯形。2. 在下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是()(A)平行四边形；(B)菱形；(C)等腰梯形； (D)直角梯形。3. 已知梯形的两个对角分别是78和120，则另两个角分别是()(A) 78 和 120； (B) 102 和 60；
4、(C) 120 和 78； (D) 60 和 120。4. 梯形ABCD中，ADBC，那么ZA : ZB ：ZC ：ZD可以等于()(A) 1 ： 2 ： 3 ： 4； (B) 4 ： 5 ： 6 ： 3； (C) 6 ： 5 ： 4 ： 3； (D) 3 ： 4 ： 5 ： 6。5. 梯形的4个角平分线所围成的四边形()(A)矩形；(B) 4个角互不相等的四边形；(C) 一组对角相等，另一组对角互补的四边形；(D)菱形或梯形。6. 如图 7 所示，在梯形 ABCD 中，DCAB，ZA=90，DC=2，DA=3,ZB=45，则AB长为()(A) 6；(B) 4；(C) 4.5；(D) 5。7.
5、 如图 8 所示，直角梯形 ABCD 中，AB#CD，ZB=90，AD=20，BC=10，则NA 和ZD分别是()(A) 30，150； (B) 45，135； (C) 120，60； (D) 150，30。8. 如图9,梯形ABCD中，ADBC，BD为对角线，AABD的面积与DBC的面积比为4 : 9，则AD与BC的比为。9、如图10，等腰梯形ABCD的对角线相交于点O，ZBOC=120，ZBDC=80，ZDAB 的度数为。10、如图 11，梯形 ABCD 中，ABDC，ZADC=80， ZBCD=50，AB=5cm，DC=13cm，则 AD=。例5.如图13，正方形ABCD中，EFXGH，
6、试说明EF=GH。例6 (选用).如图14，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分ZCBE交CD于F，试说明BE=CF+AE。图14“练习2”：1. 已知正方形的一条对角线长为4cm，则它的面积是cm2；2. 已知口ABCD中，匕A比ZB小20，那么NC的度数是；3. 如图15, OABCD中，AC、BD相交于O,过点O作BC平行线交CD于点E,若OE=3cm, 则 AD=cm；4. 如图16，梯形ABCD中，ADBC，E、F、G、H分别是边AD、DC、BC，AB的中点，梯形ABCD的边满足条件 时，四边形EFGH是菱形。5. 如图17，在梯形ABCD中，DCAB，若将梯形对折，使点D、
7、A重合，则点C落在AB 上的E处，若将梯形沿EC折叠，点A、B恰好重合，已知DC=2cm，ZB=60，则BC=cm；图15图166.如图 18，有一矩形纸片 ABCD，AB=10，AD=6,图17将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将AAED为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则ACEF的面积为()(A)4；(B)6；图18(C)8；(D)10o7.如图19，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不一定成立的是()(A) AB=CD； (B)当 ACXBD 时，它是菱形;(C) AC=BD； (D)当ZABC=90 时，它是矩形。三、家庭作业1. 如图所示，四边形ABCD是一个平行
8、四边形纸片，小明想在CD上找到点E，连结BE使四边 形ABED为等腰梯形。请你帮助他想出两种折叠纸片的办法确定E的位置。(画图并加以说明)2、已知：如图，梯形ABCD中，ABDC，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，试说明AC与 CE相等。参考答案例 1. AB=CD。由梯形 ABCD 知 ADBC，则ZEAD=ZB,ZEDA=ZC，因为匕B=ZC,所以EB=EC （等角对等边），匕EAD=ZEDA，所以EA=ED, 即 AB=DC。例2.如图4,过点A作DC的平行线交BC于E，因为ADBC （已知），所以四边形ADCE是平行四边形（平行四边形的定义）。从而有EC=AD=5cm，AE=DC
9、=AB=4cm （平行四边形的特征）。 而在 ABE 中有 BE=22-2X5-2X4=4 （cm），AABE 是等边三 角形，所以ZB=60（等边三角形的特征）。图4例3.因为直角梯形ABCD沿对角线BD折叠，点A恰好落在下底 BC 的点 E 上，所以ZA=ZBED=150，ZABD=ZEBD，ZADB=ZEDB，因为 ADBC，所以ZADB=ZEBD，所以ZABE=ZADE，四边形ABED是平行四边形，DE=AB=4cm，在直角 三角形CDE中，匕DEC=30，所以CD=2cm。例4.如图6，过D点作DFAC,交BC的延长线于F，则四 边形ACFD是平行四边形，所以AC=DF，AD=CF，
10、因为四边形 ABCD是等腰梯形，所以AC=DB，BD=FD，因为。上8。，所以 BE=EF=+BF=+ （BC+CF）= 2 （BC+AD）= + X 10=5。因为 AC DF，BD AC，所以 BD DF，因为 BE=FE，所以DE=BE=EF=+BF=5。2练习1：1、C；2、8、提示：C； 3、B； 4、B； 5、C； 6、D； 7、D；分别过点B、D作ABD和BCD的高BE和DF，贝BE=DF 与DBC的面积比即AD与BC的比4 : 9；9、110；10、提示：可平移一腰，得到一个等腰三角形，结果8cm； 例5.如图13，作EMCD于M，HNBC于N。因为四边形ABCD是 正方形，所
11、以 AB=BC，ZB=90，EMBC，HNAB，所以 EM=HN， EMHN。设 HN 与 EF 交于 O，因为 EFHG，ZHOF=ZEON，所以 ZFEM=ZGHN，又因为匕EMF=ZHNG，所以 EMF 与HNG 重合， 故 EF=GH。例6.如图14，ZABF=ZCBE ZNFB=ZABF将ABE绕点B顺时针旋转90得到 BCN。贝BE=BN。因为四边形ABCD为正方形，所以CDAB， 因ZABF=ZABE+ZEBF，ZEBF=ZFBC，ZNBF=ZNBC+ZFBC，所以ZNBF=ZNFB，BN=NF=NC+CF，所以 BE=AE+CF。练习2：1. 8； 2. 80；3. 提示：延长
12、EO交AB于F,利用中心对称可知OF=OE,又 EF=AD，故AD=6；4. 提示：四边形EFGH若是菱形，则有四边形ABGE和四边形DCGE关于直线EG对称，即梯 形ABCD是等腰梯形，所以当梯形ABCD满足AB=CD时，四边形EFGH是菱形。5. 提示：第一次折叠，说明梯形ABCD为直角梯形，且CELAB，AE=DC，第二次折叠因为点 A、B重合，且ZB=60，说明 ABC为等边三角形，故BC=AB=2DC=4cm。6. C； 7. C；三、家庭作业1、第一种方法：沿AB的垂直平分线为折痕，D在DC上的落点，即为所求点E；第二种方法： 由B作DC的垂线，以此垂线为折痕，C在DC上的落点即为所求点E。2、连结DB。因为AB#DC，即 BEDC，所以四边形BECD是平行四边形，所以CE=BD。因 为AD=BC，所以梯形ABCD是等腰梯形。所以AC=BD，所以AC=CE。
