《一轮复习配套讲义：第10篇-第3讲-二项式定理.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一轮复习配套讲义：第10篇-第3讲-二项式定理.doc（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3讲二项式定理 最新考纲1能用计数原理证明二项式定理2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.知 识 梳 理1二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)二项展开式的通项公式Tr1Canrbr，它表示第r1项二项式系数二项展开式中各项的系数C，C，C2.二项式系数的性质(1)0kn时，C与C的关系是CC.(2)二项式系数先增后减中间项最大当n为偶数时，第1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为Cn或Cn.(3)各二项式系数和：CCCC2n，CCCCCC2n1.辨 析 感 悟1二项式定理的理解(1)Canrbr是(
2、ab)n的展开式中的第r项()(2)在(1x)9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项()(3)(教材习题改编)在6的二项展开式中，常数项为160.()2二项式系数的性质(4)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(5)若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，则a7a6a1的值为128.()(6)(2013安徽卷改编)若n的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且x4的系数为7，则实数a.()感悟提升1二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)揭示二项展开式的规律，一定牢记通项公式Tr1Canrbr是展开式的第r1项，不是第r项，如(1)2二项式系数与展
3、开式项的系数的异同一是在Tr1Canrbr中，C是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负，如(2)就是混淆两个概念的区别二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关，当n为偶数，中间一项的二项式系数最大，如(6)；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值考点一通项公式及其应用【例1】 (1)(2013浙江卷)设二项式5的展开式中常数项为A，则A_.(2)(2013新课标全国卷)已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a等于()A4 B3 C2 D1解析(1
4、)Tr1C()5rr，令r0，得r3，AC10.(2)(1ax)(1x)5(1x)5ax(1x)5，又(1x)5中含有x与x2的项为T2Cx，T3Cx2.展开式中x2的系数为CaC5，a1.答案(1)10(2)D规律方法 (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解【训练1】 (1)(2013大纲
5、全国卷改编)(1x)8(1y)4的展开式中x2y2的系数是_(2)设二项式6(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B4A，则a的值是_解析(1)(1x)8的通项为Cxk，(1y)4的通项为Cyt，(1x)8(1y)4的通项为CCxkyt，令k2，t2，得x2y2的系数为CC168.(2)6展开式的通项Tr1(a)rCx6rA(a)2C，B(a)4C，由B4A，得(a)4C4(a)2C，解之得a2.又a0，所以a2.答案(1)168(2)2学生用书第177页考点二二项式系数的性质与各项系数和【例2】 (1)(2014青岛模拟)设(1x)na0a1xa2x2anxn，若a1a2an63，
6、则展开式中系数最大的项是()A15x2 B20x3 C21x3 D35x3(2)若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_审题路线(1)先赋值求a0及各项系数和，进而求得n值，再运用二项式系数性质与通项公式求解(2)根据二项式系数性质，由CC，确定n的值，求出的系数解析(1)(1x)na0a1xa2x2anxn，令x0，得a01.令x1，则(11)na0a1a2an64，n6，又(1x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大，(1x)6的展开式系数最大项为T4Cx320x3.(2)由题意知，CC，n8.Tr1Cx8rrCx82r，当82r2时，r5，的系数为CC56.答
7、案(1)B(2)56规律方法 (1)第(1)小题求解的关键在于赋值，求出a0与n的值；第(2)小题在求解过程中，常因把n的等量关系表示为CC，而求错n的值(2)求解这类问题要注意：区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，1.【训练2】 (1)二项式n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项是()A180 B90 C45 D360(2)若(12x)2014a0a1xa2x2a2014x2014(xR)，则的值为_解析(1)由二项式系数的性质，得n10，Tr1C()10rr2rC，令5r
8、0，则r2，从而T34C180.(2)令x0，得a0(10)20131.令x，则a00，1.答案(1)A(2)1考点三二项式定理的应用【例3】 (2012湖北卷)设aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，则a()A0 B1 C11 D12解析512 012a(521)2 012aC522 012C522 011C52(1)2 011C(1)2 012a，C522 012C522 011C52(1)2 011能被13整除且512 012a能被13整除，C(1)2 012a1a也能被13整除因此a可取值12.答案D规律方法 (1)本题求解的关键在于将512 012变形为(521)2 01
9、2，使得展开式中的每一项与除数13建立联系(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，acrb，其中余数b0，r)，r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用【训练3】 190C902C903C(1)k90kC9010C除以88的余数是()A1 B1 C87 D87解析190C902C(1)k90kC9010C(190)108910(881)108810C889C881，前10项均能被88整除，余数是1.答案B1二项展开式的通项Tk1Cankbk是展开式的第k1项，这是解决二项式定理有
10、关问题的基础在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制2因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法3二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系创新突破10二项式的和与积问题【典例】 (2014济南质检)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A40 B20 C20 D40突破：展开式的常数项来源于：“x”中的x与5展开式中含的项相乘；与5展开式中含x的项相乘解析在5中，令x1，得(1a)(21)51a2，a1.5展开式的通项Tr1C(2x)5rr
11、C25r(1)rx52r.令52r1，得2r4，即r2，因此5展开式中x的系数为C252(1)280.令52r1，得2r6，即r3，因此5展开式中的系数为C253(1)340.5展开式中常数项为804040.答案D反思感悟 对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解【自主体验】(12x)3(1x)4展开式中x项的系数为_解析(12x)3(1x)4展开式中的x项的系数为两个因式相乘而得到，即第一个因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项，
12、它为C(2x)0C(x)1C(2x)1C14(x)0，其系数为CC(1)C2462.答案2对应学生用书P361基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2014西安调研)若(1)4ab(a，b为有理数)，则ab()A36 B46 C34 D44解析(1)41CC()2C()3()42816，由题设a28，b16，故ab44.答案D2(2013辽宁卷)使n(nN*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A4 B5 C6 D7解析Tr1C(3x)nrrC3nrxnr，当Tr1是常数项时，nr0，当r2，n5时成立答案B3已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和
13、是()A28 B38 C1或38 D1或28解析由题意知C(a)41 120，解得a2，令x1，得展开式各项系数和为(1a)81或38.答案C4已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列a1，a2，a3，ak(1k11，kZ)是一个单调递增数列，则k的最大值是()A6 B7 C8 D5解析由二项式定理知anC(n1,2,3，n)又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第6项a6C，则k的最大值为6.答案A5若(1mx)6a0a1xa2x2a6x6，且a1a2a663，则实数m的值为()A1或3 B3C1 D1或3解析令x0，得a0(10)61，令x1，得(1m)6a0a1a2a6，又a1a2a3a663，(1m)66426，m1或m3.答
