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1、2实际问题中的函数模型实际问题中的函数模型自主自主预习预习新知新知导学导学合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑易易 错错 辨辨 析析随随 堂堂 练练 习习课标定位课标定位素养阐释素养阐释1.培养学生由实际问题转化为数学问题的建模培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力能力,即根据实际问题进行信息综合即根据实际问题进行信息综合,列出函数列出函数解析式解析式.2.会建立函数模型解决实际问题会建立函数模型解决实际问题.3.通过学习函数基本模型的应用通过学习函数基本模型的应用,体会实践与理体会实践与理论的关系论的关系,初步渗透理论与实践的辩证关系初步渗透理论与实践的辩证关系.4.体会函数思想在解决现实问
2、题中的应用体会函数思想在解决现实问题中的应用,提升提升数学建模素养数学建模素养.一、一、实际问题的函数刻画的函数刻画【问题思考】【问题思考】1.“龟兔赛跑龟兔赛跑”讲述了这样的故事讲述了这样的故事:有一天有一天,兔子和乌龟比赛跑兔子和乌龟比赛跑步步.领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来骄傲起来,睡了一觉睡了一觉,当它当它醒来时醒来时,发现乌龟快到终点了发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶于是急忙追赶,但为时已晚但为时已晚,乌龟乌龟还是先到达了终点还是先到达了终点.用用s1,s2分别表示乌龟和兔子所行的路程分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为乌龟和兔子行驶的时间为乌龟和兔
3、子行驶的时间,则与故事情节相吻合的是则与故事情节相吻合的是().解析解析:乌龟距离起点的距离始终在增加乌龟距离起点的距离始终在增加,符合一次函数的增长符合一次函数的增长模型模型,兔子距离起点的距离先增加兔子距离起点的距离先增加,再停止增加一段时间后又再停止增加一段时间后又更快的增加更快的增加,总之总之,乌龟与兔子行进的路程是一样的乌龟与兔子行进的路程是一样的,乌龟用的乌龟用的时间少时间少,兔子用的时间长兔子用的时间长,综合以上分析综合以上分析,选选B.答案答案:B2.在在现实世界里现实世界里,事物之间存在着广泛的联系事物之间存在着广泛的联系,当面对的实际当面对的实际问题中存在几个变量问题中存在
4、几个变量,并且它们之间具有并且它们之间具有依赖依赖关系时关系时,我们往我们往往用往用函数函数对其进行刻画对其进行刻画.函数刻画的方法可以使用图象函数刻画的方法可以使用图象,但常但常见的还是使用解析式见的还是使用解析式.二、用函数模型解决二、用函数模型解决实际问题【问题思考】【问题思考】1.数学模型数学模型是针对或参照某种事物的主要特征、主要关系是针对或参照某种事物的主要特征、主要关系,用用形式化的数学语言形式化的数学语言,抽象概括地、简化近似地表述出来的一抽象概括地、简化近似地表述出来的一种种数学结构数学结构.其中其中,函数模型是应用最广泛的数学模型之一函数模型是应用最广泛的数学模型之一.实际
5、实际问题问题一旦被认定是函数关系一旦被认定是函数关系,就可以通过研究这个函数就可以通过研究这个函数的性质的性质,使问题得到解决使问题得到解决.2.解决实际问题的基本过程是什么解决实际问题的基本过程是什么?提示提示:(1)分析问题分析问题,(2)建立函数模型建立函数模型,(3)解决函数问题解决函数问题,(4)回到回到实际问题实际问题.3.某物体一天内的温度某物体一天内的温度T(单位单位:)是时间是时间t(单位单位:h)的函数的函数,且且满足满足T(t)=t3-3t+60,t=0时表示中午时表示中午12:00,则上午则上午8:00时的温度时的温度为为.解析解析:由于由于t=0时表示中午时表示中午1
6、2:00,则上午则上午8:00时时t=-4,代入函数代入函数T(t)=t3-3t+60中中,可得可得T(-4)=8.答案答案:8三、常三、常见的函数模型的函数模型【问题思考】【问题思考】1.常见的几种函数模型常见的几种函数模型2.某水果市场规定某水果市场规定,批发苹果不少于批发苹果不少于100 kg时时,批发价为批发价为2.5元元/kg.小王小王携带携带3 000元现金到市场采购苹果元现金到市场采购苹果,并以并以2.5元元/kg的价的价格买进格买进,如果购买的苹果为如果购买的苹果为x kg,小王付款后剩余现金小王付款后剩余现金y元元,那么那么y与与x之间的函数关系为之间的函数关系为.答案答案:
7、y=3 000-2.5x(100 x1 200)【思考辨析】【思考辨析】判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画正确的在它后面的括号里画“”,错误错误的画的画“”.(1)商场将某种商品按进货价提高商场将某种商品按进货价提高40%,然后再打八折优惠销然后再打八折优惠销售售,结果每件商品比进货价多赚了结果每件商品比进货价多赚了270元元,那么这种商品的进货那么这种商品的进货价是价是2 000元元/件件.()(2)当不同的范围下当不同的范围下,对应关系不同时对应关系不同时,可以选择分段函数模型可以选择分段函数模型.()(3)已测得已测得(x,y)的两组值为的两组值为(1,2
8、),(2,5),现有两个函数模型现有两个函数模型,甲甲:y=x2+1,乙乙:y=3x-1.若又测得若又测得(x,y)的一组对应值为的一组对应值为(3,10.2),则则选用甲作为函数模型较好选用甲作为函数模型较好.()(4)有关平均增长率的实际问题一定是指数函数模型有关平均增长率的实际问题一定是指数函数模型.()探究探究一一 利用利用已知函数模型解决已知函数模型解决实际问题(1)求求p%的值的值.(2)到今年为止到今年为止,该森林已砍伐了多少年该森林已砍伐了多少年?(3)该森林今后最多还能砍伐多少年该森林今后最多还能砍伐多少年?用函数模型解决实际问题的思想用函数模型解决实际问题的思想【变式训练【
9、变式训练1】我们知道我们知道:人们对声音有不同的感觉人们对声音有不同的感觉,这与声这与声音的强度有关系音的强度有关系.声音的强度用声音的强度用I(W/m2)表示表示,但在实际测量时但在实际测量时,常用声音的强度水平常用声音的强度水平LI表示表示,它们满足以下关系它们满足以下关系:(单位为分贝单位为分贝,LI0,其中其中I0=110-12 W/m2).回答以下问题回答以下问题:(1)树叶沙沙声的强度是树叶沙沙声的强度是110-12 W/m2,耳语的强度是耳语的强度是110-10 W/m2,恬静的无线电广播的强度是恬静的无线电广播的强度是110-8 W/m2,试分别求出试分别求出它们的强度水平它们
10、的强度水平;(2)某一新建的小区规定某一新建的小区规定:小区内公共场所的声音的强度水平小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在必须保持在50分贝以下分贝以下,试求该小区内公共场所的声音强度试求该小区内公共场所的声音强度I的范围的范围.探究探究二二 分段分段函数模型函数模型【例【例2】据气象中心观察和预测据气象中心观察和预测:发生于沿海发生于沿海M地的台风一直地的台风一直向正南方向移动向正南方向移动,其移动速度其移动速度v(单位单位:km/h)与时间与时间t(单位单位:h)的的函数图象如函数图象如图图,过线段过线段OC上一点上一点T(t,0)作横轴的垂线作横轴的垂线l,梯形梯形OABC在直线在直
11、线l左侧部分的面积即左侧部分的面积即t h内台风所经过的路程内台风所经过的路程s km.(1)当当t=4时时,求求s的值的值;(2)将将s随随t变化的规律用函数关系式表示出来变化的规律用函数关系式表示出来;(3)若若N城位于城位于M地的正南方向地的正南方向,且距且距M地地650 km,试判断这场试判断这场台风是否会侵袭到台风是否会侵袭到N城城.如果会如果会,那么在台风发生后多长时间那么在台风发生后多长时间它将侵袭到它将侵袭到N城城?如果不会如果不会,请说明理由请说明理由.解解:(1)由题中图象可知由题中图象可知,线段线段OA对应的方程是对应的方程是v=3t(0t10),线线段段BC对应的方程是
12、对应的方程是v=-2t+70(20t35).故当故当t=4时时,v=12,(3)当当t0,10时时,smax=102=150650;当当t(10,20时时,smax=3020-150=450650;当当t(20,35时时,令令-t2+70t-550=650,解得解得t=30或或t=40(舍去舍去),故在台风发生故在台风发生30 h后将侵袭到后将侵袭到N城城.分段函数模型是日常生活中常见的函数模型分段函数模型是日常生活中常见的函数模型.对于分段函数对于分段函数,一要注意规范书写格式一要注意规范书写格式;二要注意各段的定义域的表示方法二要注意各段的定义域的表示方法,对于中间的各个分点对于中间的各个
13、分点,一般是一般是“一边闭一边闭,一边开一边开”,以保证在各分以保证在各分点的点的“不重不漏不重不漏”.【变式训练【变式训练2】某厂生产某种零件某厂生产某种零件,每个零件的成本为每个零件的成本为40元元,出厂单价定为出厂单价定为60元元.该厂为鼓励销售订购该厂为鼓励销售订购,决定当一次订购量决定当一次订购量超过超过100个时个时,每多订购每多订购1个个,订购的全部零件的出厂单价降低订购的全部零件的出厂单价降低0.02元元,但实际出厂单价不能低于但实际出厂单价不能低于51元元.(1)当一次订购量为多少个时当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰好降为零件的实际出厂单价恰好降为51元元?(2)
14、设一次订购量为设一次订购量为x个个,零件的实际出厂单价为零件的实际出厂单价为P元元,写出写出P与与x之间的函数关系式之间的函数关系式.(3)当销售商一次订购当销售商一次订购500个零件时个零件时,该厂获得的利润是多少元该厂获得的利润是多少元?如果订购如果订购1 000个个,利润又是多少元利润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价实际出厂单价-成本成本)(3)设销售商一次订购量设销售商一次订购量为为m个个时时,工厂获得的利润为工厂获得的利润为L元元,当当m=500时时,L=6 000;当当m=1 000时时,L=11 000.因此因此,当销售商一次订购当销售商一
15、次订购500个零件时个零件时,该该厂获得的利润是厂获得的利润是6 000元元;如果订购如果订购1 000个个,利润是利润是11 000元元.探究探究三三 函数函数模型的模型的选择【例【例3】在某种新型材料的研制中在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验人员获得了下列一组实验数据实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律数据的规律,其中最接近的一个是其中最接近的一个是()分析分析:把各组数据代入把各组数据代入,逐个检验即可选出最接近的一个逐个检验即可选出最接近的一个.解析解析:对于选项对于选项A,各组数据都很接近各组数据都很
16、接近,对于选项对于选项B,当当x=5.15时时,y=8.3,与实际数据相差较大与实际数据相差较大,当当x=6.126时时,y=10.252,与实际数据相差较大与实际数据相差较大,故选项故选项B不合适不合适;对于选项对于选项C,当当x=4时时,y=2,与实际数据相差较大与实际数据相差较大,故故选项选项C不合适不合适;答案答案:A【变式训练【变式训练3】通过市场调查通过市场调查,得到某商品的价格在近四个月得到某商品的价格在近四个月的市场平均价的市场平均价f(x)(单位单位:元元/kg)与时间与时间x(单位单位:月月)的数据如下的数据如下:现有三种函数模型现有三种函数模型:f(x)=bx+a(b0),f(x)=ax2+bx+c(a0),找出你认为最适合的函数模型找出你认为最适合的函数模型,并估计并估计12月此商月此商品市场平均价为品市场平均价为()元元/kg.A.28B.25C.23D.21解析解析:因为因为f(x)的值随的值随x值的增大先增后减值的增大先增后减,所以所以选选f(x)=ax2+bx+c(a0)最合适最合适.将将(8,28.00),(10,36.00),(11,34.00)分别
