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1、考点13 解三角形【考点剖析】1.最新考试说明：(1)考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容.(2)考查利用正、余弦定理判断三角形的形状(3)考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法2. 命题方向预测：(1)利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点(2)常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.3.课本结论总结：（1）正弦定理：（2）余弦定理：a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC 余弦定理可以变形为：cos A，cos B，cos C.（3）SABCabsin Cbcsi
2、n Aacsin B（4）已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabababab解的个数无解一解两解一解一解无解（5） 常见题型：在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角4.名师二级结论：（1）在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中
3、，ABabsin Asin B.（2）正弦定理的变形：2R，其中R是三角形外接圆的半径abcsin Asin Bsin C；a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；sin A，sin B，sin C等形式，以解决不同的三角形问题（4） 三角形的面积公式：SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.（5） 解三角形的常用途径： 化边为角；化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换5.课本经典习题：(1)新课标A版第10 页，第 B2 题（例题）在中，如果有性质，试问这个三角形的形状具有什么特
4、点【经典理由】一题多解，既可利用正弦定理进行求解，也可利用余弦定理进行求解。新课标A版第 25 页，第 B3题（例题）研究一下，一个三角形能否同时具有一下两个性质：（1） 三边是连续的三个自然数；（2）最大角是最小角的2倍.【解析】设三角形的三边长依次为，对应角依次为;由正弦定理，得，则，又由余弦定理得，化简得，解得，即存在这样的三角形，边长依次为4,5,6.【经典理由】综合考查解三角形与二倍角公式.6. 考点交汇展示：(1) 与三角函数的图像与性质的交汇【2018届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上第一次联考】已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减如图，四边形中， 为的内角的对
5、边，且满足（1）证明： ；（2）若，设， ， ，求四边形面积的最大值【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析: （1）由题意知，解得，代入已知条件化简可得: ,再由正弦定理可得；(2)由条件和(1)的结论可得为等边三角形，可得 ,化简为，由求得最大值.（2）因为， ，所以，所以为等边三角形， ，当且仅当，即时取最大值， 的最大值为.（2）与平面向量的交汇【2017浙江，14】已知向量a，b满足则的最小值是_，最大值是_【答案】4，【解析】 (3)与实际问题的交汇【全国百强校】2018届江苏省泰州中学高三10月月考】如图所示，某工厂要设计一个三角形原料，其中.（1）若，求的面积的最大值；（
6、2）若的面积为，问为何值时取得最小值.【答案】（1）；（2）时， 有最小值，即最小.【解析】试题分析：（1）建系设点，根据条件求出A的轨迹方程，则三角形的高为圆上动点到直线的距离，数形结合可求三角形面积的最大值（2）设，表示出三角形面积，求出BC= ，利用导数求其最值即可.（2）设，由得.令， 令得，列表：略. 在上单调递减，在上单调递增，当时， 有最小值，即最小.【考点分类】热点一 利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长1.【2017课标1，文11】ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知，a=2，c=，则C=ABCD【答案】B【解析】2.【2017山东，文17】在ABC
7、中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,SABC=3,求A和a.【答案】【解析】试题分析：先由数量积公式及三角形面积公式得,由此求A,再利用余弦定理求a.试题解析：因为，所以，又，所以，因此，又，所以，又，所以，由余弦定理，得，所以.【方法规律】(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意（3）已知三边，解三角形，利用余弦定理；（4）已知两边与夹角解三角形，利用余弦定理；【解题技巧】在处理解三角形过程中，要注意“整体思想”的运用，可起到事半功倍的
8、效果。如：在ABC中，BCa，ACb，a，b是方程的两个根，且。求： (1)角C的度数； (2)AB的长度。【解析（1） C120（2）由题设： 【易错点睛】已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意 如：在ABC中，a，b，B45，则A等于（）A30 B60 C60或120D 30或150【解析】由正弦定理，可得，解得;因为，,所以，故选C.热点二 利用正余弦定理判断三角形形状1.若，且，那么是（ ）A直角三角形 B等边三角形 C.等腰三角形 D等腰直角三角形【答案】B【解析】，根据余弦定理有，即，即，又由，则，即，化简可得，即，是
9、等边三角形，故选B2. 中，若且，则的形状是（ ）A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形【答案】C【方法规律】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论【解题技巧】熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用如：在中，已知，则角A为（ ） A. B. C. D
10、.或【解析】考虑余弦定理的公式特点，则：， ，则，又，,故选C.【易错点睛】在利用正弦定理或余弦定理判定三角形的形状时，在化简过程中，要保证等价变形，一定不要漏解。如：(1)新课标A版第10 页，第 B2 题（例题）在中，如果有性质，试问这个三角形的形状具有什么特点热点三 利用正余弦定理求三角形面积 1.在中，,则的面积等于_.【答案】【解析】由正弦定理可得.所以的面积等于.2.【2017北京，理15】在ABC中， =60，c=a.（）求sinC的值；（）若a=7，求ABC的面积.【答案】（）；（）.【解析】【方法规律】常用三角形的面积公式 (p是周长的一半，即，r为内切圆半径)； (R为外接
11、圆半径)【解题技巧】在解三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的综合使用.如： 中，角，的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）若为边上的中线，求的面积【答案】（1）（2）【解析】（1），由正弦定理，得，以，又，（2）在中，由余弦定理得，在中，由正弦定理得，由已知得.，由，解得，【易错点睛】在利用面积公式解三角形时，要注意不要漏解.如：已知ABC的面积为，且，则A等于 （ ）A30B30或150C60D60或120 【解析】由三角形的面积公式,得,解得：;,所以60或120.【热点预测】1.【2018届福建省三明市第一中学高三上第一次月考】在中，角的对边分别为，且，则角等于()
12、A. B. 或 C. D. 【答案】D【解析】在中，由余弦定理，得，即，又，故选D.2.【2017山东，理9】在中，角，的对边分别为，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】 所以，选A.3.【2018届福建省数学基地校】如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1 000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30，经过1min后又看到山顶的俯角为75，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km) ( )A. 11.4 B. 6.6C. 6.5 D. 5.6【答案】B【解析】AB1 000 (km)，BCsin30 (km
13、)航线离山顶hsin7511.4(km)山高为1811.46.6(km)选B.4.【2017浙江，11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积， 【答案】5.【2018届广东省揭阳市惠来县第一中学高三上第一次月考】已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，三内角A，B，C成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于_；【答案】1【解析】A，B，C成等差数列，所以.6.【2018届河北省大名县第一中学高三上第一次月考】设的内角,所对的边长分别为,若,则的值为_.【答案】4【解析】由正弦定理可得=,又因为=,所以=,即,所以.7.【2018届湖北省武汉市部分学校新高三起点调研】 在钝角中，内角的对边分别为，若，则的取值范围是_.【答案】8.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此
