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1、立体几何中的向量方法()求空间角与距离1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为.2.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角满足cos _.(2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平面所成角满足sin _.(3)求二面角的大小1如图，AB、CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小_.2如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则
2、二面角的大小满足cos _.3.点面距的求法如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离d_.1.如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a(1,0,1)，b(0,1,1)，那么，这条斜线与平面所成的角是_.2.若平面的一个法向量为n(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a(2，3,3)，则l与所成角的正弦值为_.3.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCOABCD，AC的中点E与AB的中点F的距离为_.4.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA15，AB12，那么直线B1C1和平面A1BCD1的距离是_.5.正四棱锥SABCD中，O为
3、顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC的夹角的大小为_.题型一求异面直线所成的角例1如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB4，AD3，AA12.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EBBF1.求直线EC1与FD1所成的角的余弦值. 如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC.OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点，N为BC的中点.(1)证明：直线MN平面OCD；(2)求异面直线AB与MD所成角的大小.题型二求直线与平面所成的角例2如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧棱AA12，D
4、、E分别是CC1、A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.求A1B与平面ABD所成角的正弦值. 如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，AA1，点D是BC的中点，点E在AC上，且DEA1E.(1)证明：平面A1DE平面ACC1A1；(2)求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值.题型三求二面角例3(2011辽宁)如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：平面PQC平面DCQ；(2)求二面角QBPC的余弦值. 如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC90，PA平面ABCD，PA3，AD2，AB2，BC6.(1)
5、求证：BD平面PAC；(2)求二面角PBDA的大小.题型四求空间距离例4在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示. 求点B到平面CMN的距离. 如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2.求点A到平面MBC的距离.11.利用空间向量求空间角试题：(12分)如图，已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA11，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点.(1)求异面直线AE与BF所成角的余弦值；(2)求平面BDF与平面AA1
6、B所成二面角(锐角)的余弦值. 立体几何中的向量方法()求空间角与距离(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1.在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n(2，2,1)，已知点P(1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于()A.4 B.2 C.3 D.12.如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是()A.60 B.45C.30 D.903.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B.C. D.二、填空题4.如
7、图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_.5.P是二面角AB棱上的一点，分别在、平面上引射线PM、PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为_.6.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为_.三、解答题7.如图所示，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60.(1)求DP与CC所成角的大小；(2)求DP与平面AADD所成角的大小.8.如图所示，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAA
8、BBC2，E为PA的中点，过E作平行于底面的平面EFGH分别与另外三条侧棱交于F、G、H，已知底面ABCD为直角梯形，ADBC，ABAD，BCD135.(1)求异面直线AF，BG所成的角的大小；(2)设平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小为，求cos .B组专项能力提升题组一、选择题1.长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A. B.C. D.2.在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为()A. B. C. D.3.如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCDA1B1C
9、1D1的对角线BD1上，记.当APC为钝角时，则的取值范围是()A. B.C. D.二、填空题4.在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PAPBPCa，则点P到平面ABC的距离为_.5.在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OAOBOC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值是_.6.设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(5，4,8)，则D到平面ABC的距离为_.三、解答题7.如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为A1D1和CC1的中点.(1)求证：EF平面ACD1； (2)求异面直线EF与AB所成角的余弦值；(3)在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角PACB的大小为30？若存在，求出BP的长，若不存在，请说明理由.8.如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，DAB为直角，ABCD，ADCD2AB，E，F分别为PC，CD的中点.(1)求证：AB平面BEF；(2)设PAkAB，若平面EBD与平面BDC的夹角大于45，求k的取值范围.1
