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1、_基本不等式教案一、教学目标： 1、知识与技能： 了解基本不等式的推导过程，理解几何意义，并掌握基本不等式取得等号的条件；能够初步运用基本不等式以及等号取得的条件，求出一些简单函数的最值(最大最小值)，并能解决一些较为简单的实际问题。2、过程与方法：本节内容是学生对不等式认识上的一次提升。要引导学生从数、形两方面探究基本不等式的证明，从而进一步突破难点。定理的证明要严密，要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等严密严谨的思维能力。3、情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力、严谨求实的科学态度，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。同时通过基本不等式的几何解释
2、，提高学生数形结合的能力。二、教学重点和难点：重点：用数形结合思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的多种解释；难点：理解“当且仅当时取等号”的数学内涵，并会应用基本不等式求解函数的最大最小值问题，以及解决一些简单的实际问题.。三、学法与教学用具：先让学生观察常见的图形，通过图形的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题突出数学本质，可调动学生的学习兴趣。定理的证明要留一部分给学生，让他们自主探究。教学用具：直角板、圆规、投影仪，如有条件可以使用多媒体(几何画板)进行教学。四、教学设想：1、几何操作，引入问题： 给出如右的所示的几何图形，是的直径，点是上任意一点，过点作垂直于的弦交于，连结、
3、，同学们，能通过这个圆以及简单的三角形得到一些相等和不等的关系吗?提问一：现在我们不妨假设，那么的长度是多少？、由为直径可知是直角三角形，再根据，容易证得，即得；提问二：根据初中学习的知识，在一个圆中，任意一条弦长与这个圆的直径有什么关系？任意一条弦长不大于直径的长度，而且当且仅当弦为直径时，长度相等。提问三：结合上面两个问题，我们可能得到一个不等式，写出这个不等式，并说出等式两遍能否相等，若可以，等号成立的条件是什么？首先由垂径定理可知，因此有，即为的一条弦长，而表示的是直径的长度，根据上一问的结论可以得知有不等式，两边同时除以，不等式可以表示为：；再据上一问的结论，易知上述不等式可以成立当
4、且仅当时(即当点与圆心重合时)，等号才成立。提问四：深入思考，如果将不等式中的用替换，能够得到什么结论；这时，有什么条件限制吗？替换之后，不等式即变为，当且仅当时等号成立；此时要求有。2、代数证明，得到结论：根据上面的几何分析结果，我们初步形成不等式结论： 若，则 提问五：能否给出上述两个不等式严格的证明？(学生尝试证明后口答,老师板书)证明(作差法)：；又当时，；当时，；，当时取等号。（注意强调：当且仅当时, 有等式成立）证明(分析法)：由于，于是要证 ，只要证 ， 要证，只要证 ， 要证，只要证 ，显然，是成立的，所以，当且仅当时取到等号。于是我们得到这节课要学习的内容：基本不等式：若，则
5、（当且仅当时，等号成立）3、深化认识：1.称为的几何平均数；称为的算术平均数。因此基本不等式的代数意义是：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。2.其实成立的条件仅需就可以，但或时定理显然成立，因此一般仅考虑的情况。4、例题讲解：例1、已知，求证：求证： （）设计意图：通过简单例题，学生掌握证明格式，理解“前提条件”、“等号成立条件”；例2、 若，且，求证：设计意图：熟练运用基本不等式；不等式证明题中，等量关系条件的运用。例3、（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多
6、少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值；（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为，深为。如果池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元？分析：若底面的长和宽确定了，水池的造价也就确定了，因此可转化为考察底面的长和宽各为多少时，水池的总造价最低。设计意图：利用基本不等式来解题时，要学会审题及根据题意列出函数表达式,要懂得利用基本不等式来求最大（小）值。例题总结：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若，且，为定值
7、，则，等号当且仅当时成立.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若，且，为定值，则，等号当且仅当时成立.课堂练习1 设均为正数，证明不等式： .2已知都是正实数，求证： 5、思考讨论：（1）设，求证：（2）已知，且。求的最大值及相应的值。6、归纳总结：提问六：通过本节课的学习，你学到了什么知识？在解决问题的基础上，你掌握了哪些探求问题的方法和数学思想方法？综合学生的回答，教师再在此基础上总结：（1）基本不等式： 若，则（当且仅当时，等号成立）（2）运用基本不等式解决简单最大最小值问题，掌握解题的基本方法；在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，把握“一正、
8、二定、三相等”。当条件不完全具备时，应创造条件使之具备条件。一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值;见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值.”。（3）数学思想与方法技巧：数学思想：基本不等式的探究过程（从特殊到一般）；基本不等式的几何解释（数形结合）；数形结合思想、“整体与局部”.方法技巧：（1）换元法、比较法、分析法（2）配、凑等技巧。教师归纳总结：整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。例题的安排应该从易到难、从简单到复杂，适应学生的认知水平。教师要根据课堂情况及时提出针对性问题，同时通过学生的解题过程进一步发现学生的思维漏洞，纠正数学表达中的错误。7、测评设计：（1）基本作业：课本习题 组 、题，组、题。（2）提高练习：求的最小值（其中）.已知，求的最小值已知，且，求的最小值设，且，求的最小值已知正数满足，求的最小值五、教学后记、教学反思：（教材：人教版新课标必修5）Welcome ToDownload !欢迎您的下载，资料仅供参考！精品资料
