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1、2.1函数概念自主自主预习预习新知新知导学导学合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑易易 错错 辨辨 析析随随 堂堂 练练 习习课标定位课标定位素养阐释素养阐释1.借助集合语言理解函数的概念借助集合语言理解函数的概念,了解构成函数了解构成函数的三要素的三要素.2.会求一些简单函数的定义域、函数值、值域会求一些简单函数的定义域、函数值、值域.3.体会数学抽象的过程体会数学抽象的过程,提升抽象概括、数学运提升抽象概括、数学运算的素养算的素养.一、函数的概念一、函数的概念【问题思考】【问题思考】1.函数函数y=x2+1中中,x,y的取值集合如何表示的取值集合如何表示?x每取一个值每取一个值,y有几有几个值
2、与之对应个值与之对应?提示提示:x的取值集合为的取值集合为R,y的取值集合为的取值集合为1,+);由一元二次函由一元二次函数的图象数的图象(图略图略)可知可知x每取一个值每取一个值,y有唯一确定的值与之对应有唯一确定的值与之对应.2.给定给定实数集实数集R中的两个中的两个非空数集非空数集A和和B,如果存在一个如果存在一个对应对应关系关系 f,使对于集合使对于集合A中的每一个数中的每一个数x,在集合在集合B中都有唯一确定的数中都有唯一确定的数y和和它对应它对应,那么就把那么就把对应关系对应关系f称为定义在集合称为定义在集合A上的一个函数上的一个函数,记记作作 y=f(x),xA.其中集合其中集合
3、A称为函数的称为函数的定义域定义域,x称为自变量称为自变量,与与x值对应的值对应的y值称为函数值值称为函数值,集合集合f(x)|xA称为函数的称为函数的值域值域.3.在在函数的定义中函数的定义中,集合集合B就是函数的值域吗就是函数的值域吗?提示提示:不一定不一定.例如例如,A=1,2,3,B=1,2,3,4,f:xy=x,则则f:AB是从集合是从集合A到集合到集合B的一个函数的一个函数,但但函数函数的的值域值域1,2,3是集合是集合B的子集的子集.4.如如图图,能表示函数关系的是能表示函数关系的是(填序号填序号).答案答案:二、函数的三要素二、函数的三要素【问题思考】【问题思考】1.函数函数f
4、(x)=x2,xR与与g(t)=t2,tR是不是同一个函数是不是同一个函数?f(x)=x与与g(x)=|x|呢呢?提示提示:f(x)=x2,xR与与g(t)=t2,tR都是描述的同一集合都是描述的同一集合R中任中任一元素一元素,按同一对应关系按同一对应关系“平方平方”对应对应B中唯一确定的元素中唯一确定的元素,故故是同一个函数是同一个函数.f(x)=x与与g(x)=|x|不是同一个函数不是同一个函数,因为两个函数虽然定义域相因为两个函数虽然定义域相同同,但对应关系不同但对应关系不同.2.(1)函数的三要素函数的三要素:定义域定义域,对应关系对应关系,值域值域.其中其中,定义域和对定义域和对应关
5、系起决定作用应关系起决定作用,只要确定了一个函数的定义域和对应关只要确定了一个函数的定义域和对应关系系,这个函数也就确定了这个函数也就确定了,值域也随之确定值域也随之确定.(2)如果两个函数的如果两个函数的定义域定义域相同相同,并且并且对应关系对应关系完全一致完全一致,我们我们就称这两个函数是同一个函数就称这两个函数是同一个函数.(3)用用f(a)表示函数表示函数f(x)当当x=a时的函数值时的函数值.3.(1)函数有定义域、对应关系和值域三要素函数有定义域、对应关系和值域三要素,为什么判断两为什么判断两个函数是不是同一个函数个函数是不是同一个函数,只看定义域和对应关系只看定义域和对应关系?(
6、2)定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗?提示提示:(1)由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域,所所以判断两个函数是不是同一个函数以判断两个函数是不是同一个函数,只看定义域和对应关系只看定义域和对应关系即可即可.(2)不一定不一定,如果对应关系不同如果对应关系不同,这两个函数一定不是同一个函这两个函数一定不是同一个函数数.【思考辨析】【思考辨析】判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画正确的在它后面的括号里画“”,错误错误的画的画“”.(1)对于函数对于函数y=f(x)
7、,xA,f(x)与与f(a)意义相同意义相同.()(2)函数的定义域和值域一定是无限函数的定义域和值域一定是无限集集.()(3)函数符号函数符号y=f(x)表示表示f与与x的乘积的乘积.()探究探究一一 函数函数的概念的概念【例【例1】判断下列对应关系是不是集合判断下列对应关系是不是集合A到集合到集合B的函数的函数.(1)A=R,B=(0,+),对应关系对应关系f:xy=|x|;(2)A=Z,B=Z,对应关系对应关系f:xy=x2;(3)A=Z,B=Z,对应关系对应关系f:xy=;(4)A=x|-1x1,B=0,对应关系对应关系f:xy=0.解解:(1)A中的元素中的元素0在在B中没有对应元素
8、中没有对应元素,故不是集合故不是集合A到集合到集合B的函数的函数.(2)对于集合对于集合A中的任意一个整数中的任意一个整数x按照对应关系按照对应关系f:xy=x2,在在集合集合B中都有唯一一个确定的整数中都有唯一一个确定的整数x2与其对应与其对应,故是集合故是集合A到到集合集合B的函数的函数.(3)集合集合A中的负整数没有平方根中的负整数没有平方根,在集合在集合B中没有对应的元素中没有对应的元素,故不是集合故不是集合A到集合到集合B的函数的函数.(4)对于集合对于集合A中任意一个实数中任意一个实数x,按照对应关系按照对应关系f:xy=0,在集在集合合B中都有唯一一个确定的数中都有唯一一个确定的
9、数0和它对应和它对应,故是集合故是集合A到集合到集合B的函数的函数.1.判断对应关系是不是函数的两个条件判断对应关系是不是函数的两个条件(1)A,B必须是非空数集必须是非空数集.(2)A中任意中任意一一个个元素元素在在B中有且只有一个元素与之对应中有且只有一个元素与之对应.对应关系是对应关系是“一对一一对一”或或“多对一多对一”的是函数关系的是函数关系,“一对多一对多”的的不是函数关系不是函数关系.2.判断图形是不是函数图象的方法判断图形是不是函数图象的方法(1)任取一条垂直于任取一条垂直于x轴的直线轴的直线l.(2)在定义域内平行移动直线在定义域内平行移动直线l.(3)若直线若直线l与图形有
10、且只有一个交点与图形有且只有一个交点,则是函数图象则是函数图象;若直线若直线l与图形没有交点或有两个或两个以上的交点与图形没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数图则不是函数图象象.3.在两个函数中在两个函数中,只有当定义域、对应关系都相同时只有当定义域、对应关系都相同时,两个函两个函数才是同一个函数数才是同一个函数.值域相同值域相同,只是前两个要素相同的必然结只是前两个要素相同的必然结果果.【变式训练【变式训练1】下列给出的各组函数下列给出的各组函数f(x)与与g(x),是同一个函是同一个函数的是数的是()解析解析:A项中函数的定义域不同项中函数的定义域不同,B项中函数的解析式不同项中函
11、数的解析式不同,即即对应关系不同对应关系不同,D项中函数的定义域不同项中函数的定义域不同,只有只有C项符合题意项符合题意.答案答案:C探究探究二二 求求函数的定函数的定义域域1.当函数是由解析式给出时当函数是由解析式给出时,求函数的定义域就是求使解析式求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合有意义的自变量的取值集合,必须考虑下列各种情形必须考虑下列各种情形:(1)负数负数不能开偶次方不能开偶次方,所以偶次根号下的式子大于或等于零所以偶次根号下的式子大于或等于零.(2)分式分式中分母不能为中分母不能为0.(3)零次幂的底数不为零次幂的底数不为0.(4)如果如果f(x)由几部分由几部分
12、构成构成,那么各部分应都有意义那么各部分应都有意义.(5)如果函数有实际背景如果函数有实际背景,那么除那么除符合上述要求外符合上述要求外,还要符合实际情况还要符合实际情况.2.求函数的定义域求函数的定义域,一般转化一般转化为解不等式或不等式为解不等式或不等式组组,注意定注意定义域是一个集合义域是一个集合,其结果必须用集合或区间来表示其结果必须用集合或区间来表示.3.含有参数的函数含有参数的函数,其自变量取值范围的确定随参数取值的变其自变量取值范围的确定随参数取值的变化而变化化而变化,要依据参数的所有可能情况分类研究确定要依据参数的所有可能情况分类研究确定.探究探究三三 求求函数函数值求函数值的
13、求函数值的方法方法(1)已知已知f(x)的表达式时的表达式时,只需用只需用a替换表达式中的替换表达式中的x即得即得f(a)的的值值;(2)求求f(g(a)的值应遵循由里往外的原则的值应遵循由里往外的原则.探究探究四四 求求简单函数的函数的值域域解解:(1)f(x)=-x2-2x+1=-(x+1)2+2.x(-2,3),f(x)max=f(-1)=2,又又f(-2)=-(-2)2-2(-2)+1=1,f(3)=-32-23+1=-14,-14f(x)2,即即f(x)的值域为的值域为(-14,2.(2)当当x0时时,f(x)=x2+11;当当x0时时,f(x)=x-1-1,故函数故函数f(x)的值
14、域为的值域为(-,-1)1,+).求值域的方法求值域的方法:(1)图象法图象法:根据函数图象求得函数值域根据函数图象求得函数值域,是一种求值域的重要是一种求值域的重要方法方法.(2)配方法配方法:配方法是求配方法是求“二次函数类二次函数类”值域的基本方法值域的基本方法.(3)换元法换元法:运用代数代换运用代数代换,将所给函数化成值域容易确定的另将所给函数化成值域容易确定的另一函数一函数,从而求得原函数的值域从而求得原函数的值域.(4)分段函数值域分段求解分段函数值域分段求解,然后取并集然后取并集.答案答案:0,1)因定义域理解不透致因定义域理解不透致误误 以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改正正?你如何防范你如何防范?1.(多选题多选题)对于函数对于函数f:AB,若若aA,则下列说法正确的是则下列说法正确的是().A.f(a)BB.f(a)有且只有一个有且只有一个C.若若f(a)=f(b),则则a=bD.若若a=b,则则f(a)=f(b)答案答案:ABD答案答案:B 3.函数函数 的定义域是的定义域是,值域是值域是.答案答案:0,+)0,+)答案答案:-4,1 答案答案:2
