《新教材适用2023_2024学年高中数学第1章直线与圆2圆与圆的方程2.3直线与圆的位置关系课件北师大版选择性必修第一册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新教材适用2023_2024学年高中数学第1章直线与圆2圆与圆的方程2.3直线与圆的位置关系课件北师大版选择性必修第一册（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.32.3直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系第一章第一章内容索引0102自主预习自主预习 新知导学新知导学合作探究合作探究 释疑解惑释疑解惑03随堂练习随堂练习课标定位素养阐释1.掌握直线与圆的位置关系的两种判定方法.2.能利用圆心到直线的距离、半弦长、圆的半径三者之间的关系,解决有关弦长的问题.3.理解一元二次方程根的判定及根与系数的关系,并能利用它们解一些简单的直线与圆的关系问题.4.通过对直线与圆位置关系的学习,培养数形结合思想,提升逻辑推理和数学运算素养.自主预习自主预习 新知导学新知导学一、直线与圆的位置关系【问题思考】1.(1)清晨,太阳从东方渐渐升起,如果将地平线看作一条直线
2、,太阳看作一个圆,那么在太阳升起的过程中,太阳与地平线有哪几种位置关系?提示:相交、相切、相离.(2)在坐标平面内,用什么方法可以判断直线与圆的位置关系?提示:有两种方法:一是利用联立的方程组解的情况判断;二是利用圆心到直线的距离与半径的关系判断.2.直线Ax+By+C=0(A,B不全为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断表1-2-23.直线x-3y+1=0与圆x2+y2=的位置关系是().A.相离B.相切C.相交且过圆心D.相交但不过圆心解析:圆心(0,0)到直线x-3y+1=0的距离 ,故直线与圆相交,但不过圆心.答案:D二、圆的切线【问题思考】1.自一点引圆的切线的条
3、数(1)若点在圆外,则过此点可以作几条切线?提示:若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线.(2)若点在圆上,则过此点只能作几条切线?提示:若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切点.(3)若点在圆内,则过此点能作几条切线?提示:若点在圆内,则过此点不能作圆的切线,即可以作0条.2.(1)经过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为 x0 x+y0y=r2.(2)经过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 .答案:C【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“”,错误的画“”.
4、(1)直线与圆最多有两个公共点.()(2)若一条直线被圆截得的弦长最长,则此直线过圆心.()(3)若A,B是圆O外两点,则直线AB与圆O相离.()(4)若C为圆O内一点,则过点C的直线与圆O相交.()合作探究合作探究 释疑解惑释疑解惑探究一探究一直直线与与圆的位置关系的判定的位置关系的判定【例1】若直线4x-3y+a=0与圆x2+y2=100有如下关系:(1)相交;(2)相切;(3)相离,试分别求实数a的取值范围.解法二:(代数法)得25x2+8ax+a2-900=0.=(8a)2-425(a2-900)=-36a2+90 000.(1)当直线和圆相交时,0,即-36a2+90 0000,解得
5、-50a50,即a的取值范围为(-50,50).(2)当直线和圆相切时,=0,即-36a2+90 000=0,解得a=50或a=-50.(3)当直线和圆相离时,0,即-36a2+90 0000,解得a50,即a的取值范围为(-,-50)(50,+).直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.【变式训练1】已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x
6、-2y+1=0.当m为何值时,圆与直线:(1)有两个公共点;(2)只有一个公共点;(3)没有公共点?解法二:将直线mx-y-m-1=0的方程化为y=mx-m-1,代入圆的方程化简整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.=4m(3m+4).探究二探究二直直线与与圆相切的相切的问题【例2】过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1引切线,求切线的方程.解:由于(2-1)2+(4+3)2=501,因此点M在圆外.当切线斜率存在时,设切线方程是y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,因为直线与圆相切,故所求切线方程为24x-7y-20=0.当切线斜率不存在
7、时,直线x=2与圆相切.综上所述,所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2.在本例中,若所给点M的坐标是(1,-4),圆的方程不变,求切线方程.解:由于(1-1)2+(-4+3)2=1,因此点(1,-4)在圆上,圆心为点(1,-3),所以切线斜率为0,所以切线方程为y=-4,即y+4=0.求圆的切线方程的三种方法(1)几何法:设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出未知量.此种方法需要注意斜率不存在的情况,要单独验证,若符合题意,则直接写出切线方程.(2)代数法:设出切线方程后与圆的方程联立消元,利用判别式等于零,求出未知量.若消元后的方程为一元一次方程,则说明要求的切线中,有一条
8、切线的斜率不存在,可直接写出切线方程.(3)设切点坐标:利用切线的性质求出切点坐标,再利用直线的两点式写出切线方程.答案:(1)A(2)B 探究三探究三直直线与与圆的相交弦的相交弦问题【例3】求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长.解法二:设直线l与圆C的交点分别为点A,B.圆C的方程x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,其圆心坐标为(0,1),半径2.若本例改为:直线l被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦AB恰被圆内的点M(1,2)平分,试求直线l的方程.解:由题意知,ABCM,因为直线CM的斜率kCM=1,所以直线l的斜率kAB=-1,故直
9、线l的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.求直线与圆相交所得弦长的两种方法 图1-2-4 图1-2-5【变式训练3】已知直线l:2mx-y-8m-3=0和圆C:x2+y2-6x+12y+20=0.(1)当mR时,证明:l与圆C总相交.(2)当m取何值时,l被圆C截得的弦长最短?求此最短弦长.(1)证明:直线l的方程可化为y+3=2m(x-4),由点斜式可知,直线l过定点P(4,-3).由于42+(-3)2-64+12(-3)+20=-150,所以点P在圆内,故直线l与圆C总相交.(2)解:圆C的方程可化为(x-3)2+(y+6)2=25.设直线l与圆C交于A,B两点,如答图1-2-1
10、.答图1-2-1 易易错辨析辨析忽视斜率不存在致误【典例】已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l过点H(2,3)且与圆C交于A,B两点,且|AB|=2 ,求直线l的方程.错解:设直线l的方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.作CMAB于点M,如图1-2-6.图1-2-6 提示:上述解法的错误在于漏掉了斜率不存在的情况,因考虑不全面造成 漏解.正解:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.作CMAB于点M,如图1-2-7.图1-2-7 即3x-4y+6=0.当直线l的斜率不存在时,过点(2,3)的直线l的方程为x=2.圆心C
11、(1,1)到此直线的距离为1,则可得该直线被圆C截得的弦长为2 ,符合题意.故直线l的方程为3x-4y+6=0或x=2.当直线斜率k待求时,最好画出图象用数形结合思想判断直线的条数,防止漏掉斜率不存在的情况.随堂练习随堂练习1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是().A.相离B.相切C.相交且过圆心D.相交但不过圆心答案:D2.已知直线ax+by+c=0(ab0)与圆x2+y2=1相切,则三边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是().A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不存在答案:B答案:D 4.当直线l:(m+1)x+(2m+1)y-7m-4=0(mR)被圆C:(x-2)2+(y-1)2=25截得的弦最短时,实数m的值为.5.已知圆x2+y2=8,定点P(4,0),求过点P的直线的斜率在什么范围内取值时,这条直线与已知圆:(1)相切;(2)相交;(3)相离.
