《新教材适用2023_2024学年高中数学第1章直线与圆2圆与圆的方程2.1圆的标准方程课件北师大版选择性必修第一册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新教材适用2023_2024学年高中数学第1章直线与圆2圆与圆的方程2.1圆的标准方程课件北师大版选择性必修第一册（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.12.1圆的标准方程圆的标准方程第一章第一章内容索引0102自主预习自主预习 新知导学新知导学合作探究合作探究 释疑解惑释疑解惑03随堂练习随堂练习课标定位素养阐释1.会用定义推导圆的标准方程;掌握圆的标准方程的特点.2.会根据已知条件求圆的标准方程;掌握圆的标准方程在求最值和实际问题中的应用.3.能准确判断点与圆的位置关系;掌握圆的简单几何性质.4.通过本节的学习渗透数形结合思想,培养逻辑推理能力,提升数学运算和直观想象素养.自主预习自主预习 新知导学新知导学一、圆的标准方程【问题思考】自古以来,人们对象征着团圆、和谐、美满的中秋圆月情有独钟.有诗云:“明月四时好,何事喜中秋.瑶台宝鉴,
2、宜挂玉宇最高头.放出白毫千丈,散作太虚一色,万象入吾眸.星斗避光彩,风露助清幽.”圆是完美的图形.图1-2-11.(1)圆在几何学中是如何定义的?提示:圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合(或轨迹).(2)在平面直角坐标系中,利用我们学到的哪些知识可以将(1)中的关系表示出来?提示:根据两点间的距离公式.(3)圆的标准方程与圆心坐标、半径有何关系?提示:由圆的标准方程,可直接得到圆的圆心坐标和半径;另一方面,给出了圆的圆心和半径,即可直接写出圆的标准方程.2.(1)平面内到 定点 的距离等于 定长 的所有点的集合(或轨迹)叫作圆,其中定点是圆心,定长就是半径.(2)圆的标准方程设圆C的
3、圆心为C(a,b),半径为r,则圆C的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2;圆心在坐标原点,半径为r的圆的标准方程为 x2+y2=r2.3.圆的标准方程为x2+(y+1)2=8,则此圆的圆心与半径分别为().答案:D二、点与圆的位置关系【问题思考】1.如何判断一个点是不是在圆上?提示:将点的坐标代入圆的方程,坐标满足方程的点就在圆上.2.点与圆的位置关系圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心A(a,b),半径为r.设所给点为M(x0,y0),则位置关系判断方法几何法代数法点在圆上|MA|=r点M在圆A上 点M(x0,y0)在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2点在圆内|
4、MA|r点M在圆A内 点M(x0,y0)在圆内(x0-a)2+(y0-b)2r点M在圆A外 点M(x0,y0)在圆外(x0-a)2+(y0-b)2r2表1-2-1 3.点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是().A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不确定解析:把点P(m2,5)的坐标代入x2+y2,得m4+2524,故点P在圆外.答案:A【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“”,错误的画“”.(1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆.()(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径.()(3)若(x0-a)2+(y0-b)2r2,则说明点M(x0,y0)在圆
5、(x-a)2+(y-b)2=r2的外部.()(4)圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.()合作探究合作探究 释疑解惑释疑解惑探究一探究一用直接法求用直接法求圆的的标准方程准方程【例1】写出下列各圆的标准方程.(1)圆心为(2,3),半径为2;(2)圆心为(2,-1)且过原点.解:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.(1)圆心为(2,3),半径为2,即a=2,b=3,r=2,圆的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=4.(2)圆心为(2,-1)且过原点,圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=5.1.用直接法求圆的标准方程,关键是确定圆心坐标与半径,注意结合圆的几何性质以便简化计
6、算过程.2.求圆的标准方程时常用的几何性质:(1)弦的垂直平分线必过圆心;(2)圆的两条不平行的弦的垂直平分线的交点必为圆心;(3)圆心与切点的连线长为半径;(4)圆心与切点的连线垂直于圆的切线;(5)圆的半径r、半弦长d、弦心距h满足r2=d2+h2.【变式训练1】(1)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为.(2)已知点A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的标准方程为.解析:(1)因为圆C的圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,所以圆心的坐标为(0,1).又圆的半径为1,所以所求圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.(2)线段AB
7、的中点坐标即为圆心坐标,即圆心坐标为(1,-3).又圆的半径答案:(1)x2+(y-1)2=1(2)(x-1)2+(y+3)2=29探究二探究二点与点与圆的位置关系的位置关系【例2】已知圆C的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a0).(1)若点M(6,9)在圆上,求半径a;(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内,另一点在圆外,求a的取值范围.分析:(1)点在圆上,则点的坐标满足圆的方程,代入求得a值.(2)点在圆内(外),则点与圆心的距离小于(大于)圆的半径,从而求得a的取值范围.判断点与圆的位置关系的方法(1)确定圆的方程:化为标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.
8、(2)将点的坐标代入代数式(x-a)2+(y-b)2,比较代数式的值与r2的大小.(3)下结论:若(x-a)2+(y-b)2=r2,则表示点在圆上;若(x-a)2+(y-b)2r2,则表示点在圆外;若(x-a)2+(y-b)2r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;当dr时,点在圆内.【变式训练2】已知圆C的圆心为C(-3,-4),且过原点O,求圆C的标准方程,并判断点M1(-1,0),M2(1,-1),M3(3,-4)与圆C的位置关系.解:因为圆C过原点O,圆心为C(-3,-4),所以圆C的半径因此圆C的标准方程为(x+3)2+(y+4)2=25.因为(-1+3)2+(0+4)2=2025,所
9、以点M3(3,-4)在圆C外.探究三探究三用待定系数法求用待定系数法求圆的的标准方程准方程【例3】求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点A(5,2)和B(3,-2)的圆的标准方程.解:因为圆心在直线2x-y-3=0上,所以可设圆心坐标为(a,2a-3),则圆的方程可设为(x-a)2+(y-2a+3)2=r2.又因为圆过点A(5,2)和B(3,-2),所以所求圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=10.若把本例中的条件“圆心在直线2x-y-3=0上”换成“圆心在直线x-y=0上”,其他条件不变,求圆的标准方程.用待定系数法求圆的标准方程的步骤(1)根据题意设所求圆的标准方程为(x-a)2+(
10、y-b)2=r2.(2)根据已知条件建立关于a,b,r2的方程组.(3)解此方程组,求得a,b,r2的值.(4)将求得的值代回所设方程,即得所求的圆的标准方程.【变式训练3】直角三角形ABC的顶点A(-2,0),直角顶点B(0,-2 ),顶点C在x轴上,圆M是三角形ABC的外接圆,求圆M的标准方程.解法二:设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由解法一,知点C的坐标为(4,0).由于ABC是以ABC为直角的直角三角形,因此该三角形外接圆的圆心为斜边AC的中点,则M(1,0),所以圆M的半径为|MA|=3,因此圆M的标准方程为(x-1)2+y2=9.思想方法思想方法利用数形结合思想求有
11、关圆的最值问题【典例】如图1-2-2,圆C:(x-8)2+(y-6)2=1,点A(0,-1),B(0,1).设P是圆上的动点,令d=|PA|2+|PB|2,求d的最大值和最小值.分析:本题考查点与圆的位置关系及数形结合思想,可先列出函数关系式,然后借助图形特点解决问题.图1-2-2 因为原点O在圆外,点C的坐标为(8,6),圆的半径为1,则|OP|max=|CO|+1=10+1=11,|OP|min=|CO|-1=10-1=9.所以dmax=2112+2=244,dmin=292+2=164.如图1-2-3,点P(x0,y0)是圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)外一点,则圆上距点P
12、最近的点为点P与圆C的圆心的连线与圆的交点A,圆上距点P最远的点为点P与圆C的圆心的连线的延长线与圆的交点B.图1-2-3【变式训练】若动点(x,y)在圆(x-2)2+y2=4上,则3x2+4y2的最大值为.解析:由(x-2)2+y2=4,得y2=4x-x2.所以3x2+4y2=3x2+4(4x-x2)=-x2+16x=-(x-8)2+64.因为x0,4,所以当x=4时,3x2+4y2取得最大值,且最大值为48.答案:48随堂练习随堂练习1.圆心为(1,-2),半径为3的圆的方程是().A.(x+1)2+(y-2)2=9B.(x-1)2+(y+2)2=3C.(x+1)2+(y-2)2=3D.(
13、x-1)2+(y+2)2=9解析:由圆的标准方程,得(x-1)2+(y+2)2=9.答案:D2.若圆(x-a)2+(y-b)2=r2过原点,则().A.a2+b2=0B.a2+b2=r2C.a2+b2+r2=0 D.a=0,b=0解析:由题意,得(0-a)2+(0-b)2=r2,即a2+b2=r2.答案:B3.圆x2+y2=1上的点与点M(3,4)之间的距离的最小值是().A.1B.4C.5D.6答案:B4.若直线y=ax+b经过第一、二、四象限,则圆(x+a)2+(y+b)2=1的圆心位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:点(-a,-b)为圆的圆心,由直线y=ax+b经过第一、二、四象限,得a0,则-a0,-b0),若点P(1,1)在圆内,点N(3,2)在圆外,求半径r的取值范围.
