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1、综合问题习题综-1滑块M的质量为m,在半径为R的光滑圆周上无摩擦地滑动。此圆周在铅直面内， 如图所示。滑块M上系有一刚性系数为k的弹性绳MOA,此绳穿过光滑的固定环O,并固 结在点Ao已知当滑块在点O时线的张力为零。开始时滑块在点B，处于不稳定的平衡状态; 当它受到微小振动时，即沿圆周滑下。试求下滑速度v与9角的关系和圆环的支反力。解：滑块M在下降至任意位置时的运动分析及受力分析如图（a）所示。滑块M在下降过mg - 2R(1 - sin2 9) + k2R)2 - (2Rsin9)2 L1 mv222程中v与9的关系可由动能定理确定：1= 2(1)kR、 解得 v = 2cos9 1 gR
2、（1 +）mgmv 2滑块M的法向运动微分方程为2kR sin 9 cos(90-9) + mg cos(180- 29) - FN把式（1）代入上式，化简得F = 2kR sin 2 9 - mg cos 29 - 4(mg + kR)cos2 9N综-3 小球质量为m,用不可伸长的线拉住，在光滑的水平面上运动，如图所示。线的另 一端穿过一孔以等速v向下拉动。设开始时球与孔间的距离为R,孔与球间的线段是直的， 而球在初瞬时速度v0垂直于此线段。试求小球的运动方程和线的张力F （提示：解题时宜 采有极坐标）解：设小球在任意瞬时的速度为V,由于作用于小球的力对小孔O之矩为零，故小球在运 动过程中
3、对点O的动量矩守恒。即mv R = mv - r01Rv = v1 r 0由题意 r = R - vtv v R= 0r(R - vt )2d9 v R即 =0dt(R - vt )2两边求积分得o=r vr dt=丄0 (R 一 vt )2R 一 vt故小球的运动方程为r = R - vtR - vt而线的张力为mv 2mv 2 R 2F = 4 =0r(R - vt )3得小球在任意瞬时绕小孔O转动的角速度为综-5图示三棱柱A沿三棱柱B光滑斜面滑动，A和B的质量各为m1与m2,三棱柱B的斜 面与水平面成0角。如开始时物系静止，忽略摩擦，求运动时三棱柱B的加速度。解：1）以A及B为系统，由于
4、作用于该系统上的外力无水平分量，因此该系统在水平方向动量守恒。即m x + m x = const1 A 2 B两边求导得：x二一m xA m Bi2）以B为动系分析A的运动。如图根据aA = ae + ar = aB + arx = x + a cos0A B ry = -a sin 0Ar3）对A进行受力分析及运动分析,（1）（a）。（2）（3）如图（b）,建立质点运动微分方程o =B J + mR 2机械能守恒mg - 2 R + 丄 Jo 2 = mgR + 丄 Jo把式（1）代入式（2）解得（1）9m x = F sin 01 ANm y = F cos0 m g1 AN1由式（2）
5、、（3）消去 a 得 y = （x x ）tan0rABA把式（1）代入上式得，y=（1 + m2）x tan 0 ，m B1再把该式与式（1）代入式（4）、（5）中消去FN，解得 .m sin 20、a =x = 一 1: xg （方向向左）B B2（m + m sin 2 0）2 1综-7图示圆环以角速度绕铅直轴AC自由转动。此圆环半径为R，对轴的转动惯量为J。 在圆环中的点A放一质量为m的小球。设由于微小的干扰小球离开点A。圆环中的摩擦忽 略不计，试求小球到达点B和点C时，圆环的角速度和小球的速度。解：整个系统在运动过程中对转动轴动量矩守恒，机械能也守恒。设小球至B位置时圆环绕AC轴转动
6、角速度为o ，小球至C位置时圆环角速度为o，B又设小球在最低位置为零势能点。1） A至B过程 动量矩守恒：Jo = （J + mR2）oBJo12 + mv 2（2）2mgR Jo 21（J + mR 2）22） A至C过程 动量矩守恒机械能守恒Jo = JoCo =oC11 1mg - 2R + Jo 2 = Jo 2 + mv 222 c 2 c=2gRvC如果确定小球在位置B时相对于圆环的速度vBr，则从速度分析知vBr垂直向下，vBe垂BeB 2 B直于图面向里，且VBe = R b故=心2 一 = +J 2 R 2J + mR 2综-9图示为曲柄滑槽机构，均质曲柄OA绕水平轴O作匀角
7、速度转动。已知曲柄OA的质 量为, OA = r,滑槽BC的质量为m2（重心在点D）。滑块A的重量和各处摩擦不计。求 当曲柄转至图示位置时，滑槽BC的加速度、轴承O的约束反力以及作用在曲柄上的力偶矩 M。解：曲柄OA和滑槽BC、滑块A的受力分析与运动分析分别 如图（a）、（b）和（c）所示，其中p （x ）表示在BC在槽上受 到的分布力但我们不求这些力。建立如图所示坐标系Oxy。1）求BCD的加速度及水平力FN。选取BC为动系，OA 曲柄上滑块A为动点，A点加速度分析如图（c）所示。根据加速度合成定理a =a + aa e r由于a = 2r故 a = a = a cosq 二2rcost （
8、j）BC e a根据质心运动定理，由图（b）得滑槽BC的运动微分方程2）求轴承O的动反力及作用在曲柄OA上的力矩Mm a2 BC曲柄OA的质心在E点，E点加速度的方向沿曲柄OA方向，且指向O点（见图a）,r a = 2 _E2其大小为根据质心运动定理及刚体绕定轴转动微分方程F + F = m a（1）N Ox1 Ex一 m g + F = m a1Oy1 Eyr(2)M 一 F r sin t 一 m g cos t = J a nr 2o将 F = F, a = -a cos t, a = -a sin tN N ExEEyE丁1J = m r 2o 31代入方程（1）、（2）、 轴承动反力
9、（3）中，解得FOx=-r 2(m + 2i)cos tr 2 .F = m (g 一sin t)Oy 12(mg)作用在曲柄OA上的力矩 M二+ m r 2 sin t r cos t2 2 丿综-11图示均质杆长为2l,质量为m,初始时位于水平位置。如A端脱落，杆可绕通过B 端的轴转动、当杆转到铅垂位置时，B端也脱落了。不计各种阻力，求该杆在B端脱落后的 角速度及其质心的轨迹。 解：（一）B脱落前瞬时1 m 、72 (2/)2 2 = mglB脱落后杆以此角速度在铅直面内匀速转动。（二） B脱落后瞬时v =Cx；3 gl= 1 -2B脱落后杆质心作抛体运动X =tC 27 1 y =-i
10、- gt2 c 23g1X 2 = 12 c 2g y +1 = t2 c2(1)(2)jr式（1）、（2）消去t,得+ yc即x2 + 31y + 312 0c c此即所求脱落后质心的运动轨迹。综-13图示机构中，物块A、B的质量均为m,两均质圆轮C、D的质量均为2m,半径均为 R。轮c铰接于无重悬臂梁CK 上, D为动滑轮，梁长度为3R,绳与轮间无滑动。系统由静止开始运动，求：（1） A物块上升的加速度；（2） HE段绳的拉力；（3）固定端K处的约束反力。解：图（a）（各自正向如图示）重力功:W (m + m ) gy m gy12D B B A A(2m + m) g -一mgyA3mv
11、 22 AT 01T T W211231即一mv 2 mgy2 a 2 a上式求导:1 1mv 2 +2 A 2(2mR 2 ) 2 +1 mv 2 + bmv 2 + 丄(丄2c 2 b 2 b 2 2-2mR 2) 2D3mv aA A1=mgv2 ACg6R图（b）：由系统动量矩定理F R - mgR =EHdt2mR 2 + mv R2cA(F - mg) R = mR 2 a + mRaEHCAggF - mg = mR -+ m 一EH6 R6F = 4 mgEH 3（C）F=m( g +a ) = mgAA 6(d)工F=0,石9F =云 mgyCy 2(c)工F=0,F = 0
12、xKx工F=0F = F =yKyCy工M=0M = FKKCy图图图92 mg927 KC = mg 3R = mgR22综-15均质细杆OA可绕水平轴O转动，另一端有一均质圆盘，圆盘可绕A在铅直面内自由 旋转，如图所示。已知杆OA长1,质量为m；圆盘半径R,质量为m2。摩擦不计，初始时 杆OA水平，杆和圆盘静止。求杆与水平线成0角的瞬时，杆的角速度和角加速度。解：系统由水平位置转至与水平成任意&角位置的过程中机械能守恒。设水平位置OA为零势能位置，而圆盘在运动过程中，因无外力偶作用，只能作平动。0 =m /2） 2 + im （l）2 - m g 2sin0 - m glsin0 （1）因
13、而有1 (6m + 3m ) g sin0 =2+(m + 3m )l112d0式(1)对t求导后消去二丁， dt(顺)d(X =dt3 g (2m2 +mi)cosO2l (m + 3m )12（与同向）综-17图示质量为m、半径为r的均质圆柱，开始时其质心位于与OB同一高度的点C。设 圆柱由静止开始沿斜面滚动而不滑动，当它滚到半径为R的圆弧AB上时，求在任意位置上 对圆弧的正压力和摩擦力。解：圆柱由静止开始沿斜面然后进入圆弧轨道过程中只滚不滑，受力及运动分析见图（a） 设圆柱质心速度为v,则由动能定理得-mr 2（V ）2 = mg （R 一 r ）cos92 2 r4v 2 = g （R 一 r ）cos9由图（a）,根据以点D为矩心的动量矩定理有：（必须指出，这里的点D为圆柱的速度 瞬心，且圆柱在运动过程中速度瞬心至质心的距离不变，才有如下的表达式）3 mr 22（幺）=mgr sin 9 r=2 g sin 93v 24=g cos9R 一 r 3由质心运动定理：matman代入解得=F + mg sin 9=F mg cos9NF = - 3 mg sin 9F = 7 mg cos9 n 3（与原设反向）综-19均质细
