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1、第三章 多维随机变量及其分布在实际应用中 , 有些随机现象需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述 . 例如 , 研 究某地区学龄前儿童的发育情况时 , 就要同时抽查儿童的身高 H 、体重 W , 这里 , H 和 W 是定义在同一个样本空间 S e 某地区的全部学龄前儿童 上的两个随机变量 . 又如 , 考 察某次射击中弹着点的位置时，就要同时考察弹着点的横坐标 X 和纵坐标 Y . 在这种情况 下，我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律， 而且还要研究它们之间的统计相依关系， 因而还需考察它们的联合取值的统计规律， 即多为随机变量的分布 . 由于从二维推广到多维 一般无实质性的困难 ,
2、故我们重点讨论二维随机变量 .第一节 多维随机变量的分布内容分布图示 二维随机变量 二维随机变量的分布函数 例 1 二维离散型随机变量及其概率分布例2例3 例4 例 5 例6 二维连续型随机变量及其概率密度例7例8二维均匀分布例10 二维正态分布例11内容小结课堂练习习题3-1内容要点：一、二维随机变量定义1 设随机试验的样本空间为S e , e S为样本点，而X X(e),Y Y(e)是定义在S上的两个随机变量，称(X,Y)为定义在S上的二维随机变量 或二维随机向量二、二维随机变量的分布函数定义2 设(X,Y)是二维随机变量，对任意实数x,y,二元函数记为F(x,y) P(X x) P(Y
3、y) P X x,Y y称为二维随机变量(X ,Y)的分布函数或称为随机变量 X和Y的联合分布函数联合分布函数的性质：(1) 0 F(x,y) 1,且对任意固定的y, F( , y) 0,对任意固定的x,F(x,) 0,F( ,) 0,F(,) 1；(2) F (x,y)关于x和y均为单调非减函数，即对任意固定的y,当X2 X1,F(X2,y) F(%,y),对任意固定的x,当y2%,F(x,y2) F(x,yJ； F(x,y)关于 x 和 y 均为右连续，即 F(x,y) F(x O,y),F(x,y) F(x,y 0).三、二维离散型随机变量及其概率分布定义3若二维随机变量(X,Y)只取有
4、限个或可数个值，则称(X,Y)为二维离散型随机 变量 .结论：(X,Y)为二维离散型随机变量当且仅当X,Y均为离散型随机变量若二维离散型随机变量(X,Y)所有可能的取值为(N,yj)i,j 1,2,则称PX xi,Y yj pij (i, j 1,2, )为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布(分布律),或X与Y的联合概率分布(分布律).与一维情形类似 ,有时也将联合概率分布用表格形式来表示, 并称为 联合概率分布表 :注 ：对离散型随机变量而言 , 联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观 , 而且能够更 加方便地确定(X,Y)取值于任何区域 D上的概率，即P( X,Y) D pij ,(x
5、i ,y j ) D特别地 , 由联合概率分布可以确定联合分布函数 :F(x,y) P X x,Y ypij.xi x,y j y四、二维连续型随机变量及其概率密度定义 设(X ,Y)为二维随机变量，F (x, y)为其分布函数，若存在一个非负可积的二元函数 f(x, y) , 使对任意实数 (x, y) , 有xyF(x,y) f (s,t)dsdt,则称(X,Y)为二维连续型随机变量，并称f (x, y)为(X ,Y)的概率密度(密度函数),或X,Y 的联合概率密度 (联合密度函数 ).概率密度函数f(x,y)的性质：(1) f (x, y) 0;f(x,y)dxdy F()1；(3) 设
6、D是xOy平面上的区域，点(X，丫)落入D内的概率为P( x, y) D f(x, y)dxdyD特别地，边缘分布函数Fx(x) PX x PX x,Y f (s,t)dsdtf(s,t)dt ds,上式表明：X是连续型随机变量，且其密度函数为：fx(x) f (x,y)dy,同理，Y是连续型随机变量，且其密度函数为：fy(y)f (x, y)dx,分别称fx(x)和fY(y)为(X,Y)关于X和Y的边缘密度函数(4) 若f (x, y)在点(x,y)连续，则有进一步，根据偏导数的定义,可推得：当x, y很小时，有PxX x x, yY y y f (x, y) xy,即，(X,Y)落在区间(
7、x,xx (y,yy上的概率近似等于f (x,y) x y.五、二维均匀分布设G是平面上的有界区域，其面积为A .若二维随机变量(X , Y)具有概率密度函数f(x, y)1A, (x,y) G A0,其它则称(X,Y)在G上服从均匀分布.六、二维正态分布若二维随机变量（X,Y）具有概率密度f(x,y)2 1其中均为常数，且10, 20,| 1,则称(X,Y)服从参数为2、 2、的二维正态分布.注：二维正态随机变量的两个边缘分布都是一维正态分布,且都不依赖于参数，亦即对给定的1, 2, 1, 2，不同的 对应不同的二维正态分布， 但它们的边缘分布都是相同的，因此仅由关于X和关于Y的边缘分布，一
8、般来说是不能确定二维随机变量（X,Y）的联合分布的例题选讲:二维随机变量的分布函数例1设二维随机变量（X, y）的分布函数为y arcta n ,3F(x,y) A B arctan C2(1)试确定常数A, B,C.求事件2 X ,0 Y 3的概率.由二维随机变量的分布函数的性质,可得F(,)A(B/2)(C/2)1,F(,)A(B/2)(C/2)0,F(,)A(B/2)(C/2)0,(1)由这三个等式中的第一个等式知A0,/20, C/20,故由第二、三个等式知B /20,/2 0,于是得B C /2, A1/ 2故（X,Y）的分布函数为F(x,y)arcta n2arcta n 3122
9、由（1）式得P2 X ,0 Y 3 F( ,3) F( ,0)F(2,3)F(2,0)1/16.二维离散型随机变量及其概率分布例2 （讲义例1）设随机变量X在1,2, 3, 4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1 X中等可能地取一整数值，试求（X,Y）的分布律.解由乘法公式容易求得（X,Y）的分布律.易知X i,Y j的取值情况是：i 1,2,3,4, 取不大于i的正整数，且1 1 PX i,Y j PY j|X iPX i - -, i 1,2,3,4, j i i 4于是(X,Y)的分布律为Y123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/16
10、40001/16例3 （讲义例2）把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之 差的绝对值，求（X,Y）的概率分布及（X,Y）关于X,Y的边缘分布解 (X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)PX 0,Y3(1/2)31/8,Y13PX 1,Y 1 3(1/2)3 3/8,PX 2,Y 1 3/8,PX 3,Y31/8,001/8故(X ,Y)的概率分布如右表13/80从概率分布表不难求得(X ,Y)关于23/80X,Y的边缘分布301/8PX 01/8, PX 13/8,PX 23/8, PX 3i/8,PY 1 3/8 3/
11、8 6/8,PY 3 1/8 1/8 2/8,从而得右表X13PX Xj001/81/813/803/823/803/8301/81/8PY y6/82/81例4 设二维随机变量的联合概率分布为201X10.30.10.110.050.2020.200.05求 PX 1,Y0及 F(0,0).解PX 1,Y0PX1,Y0PX1,Y1 PX1,Y0 PX 1,Y 10.1 0.10.200.4.F (0,0)PX1,Y2PX1,Y00.30.10.4.二维连续型随机变量及其概率密度例5设(X,Y)的概率分布由下表给出，求PX 0,Y0, P X 0,Y0PXY 0, P X Y, P| X |
12、| y |.表 3 1B10200.10.2010.20.050.120.1500.1解 PX 0,Y 0 PX 1,Y 0 PX 2,Y 00.05 0 0.05,PX 0,Y 0PX 0,Y1 PX 0,Y 0 0.1 0.2 0.3,P|X|Y| PX 0,Y 0 PX 1,Y1 PX 1,Y10.2 0.3 0.1 0.6.例6 一整数N等可能地在1,2,3, ,10十值中取一个值.设D D(N)是能整除N的 正整数的个数，F F(N)是能整除N的素数的个数(注意 1不是素数).试写出D和F 的联合分布律.并求分布律.解将试验的样本空间及 D,F取值的情况列表如下：1234567891
13、0D1223242434F0111121112D所有可能取值为1,2,3,4; F所有可能取值为0,1,2.容易得到(D,F)取(i,j), i 1,2,3,4, j 0,1,2的概率,可得D和F的联合分布律及边缘分布律如下表：F1234PF j01/100001/10104/102/101/107/1020002/102/10PD i1/104/102/103/101即有边缘分布律D1234F012Pk1/104/102/103/10Pk1/107/102/10例7 (讲义例3)设二维随机变量(X,Y)具有概率密度f(x,y)2e(2xy)0,x 0, y0,其它.(1)求分布函数F(x, y)
