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1、2函数的幂级数展开(一)教学目的：掌握泰勒级数和麦克劳林级数展开，初等函数的幂级数展开熟记一些初等函数的幂级数展开式.(二)教学内容：泰勒级数和麦克劳林级数展开式的定义；五种基本初等函数的幂级数展开式基本要求：(1)掌握泰勒级数和麦克劳林展开式，五种基本初等函数的幂级数展开(2)学会用逐项求积和逐项求导的方法展开初等函数，并利用它们作间接展开三)教学建议：(1)要求学生必须掌握泰勒级数和麦克劳林展开式，并利用五种基本初等函数的幂级数展开某些初等函数或作间接展开(2)对较好学生可布置利用逐项求导和逐项求积的方法展开初等函数的习题级数设函数f(x)在点x0有任意阶导数公式：f(x)一x0)k，Rn
2、(x)_k_0f(n)(xo)(x一x)n,R(x)n!0nf(x)=f(xo)，f(x0)(x一xo)+亍(xx0)2，余项R(x)的形式n型余项R(x)二o(xx)n)n0(只要求在点xo的某邻域内有n-1阶导数,f(n)(x0)存在)型余项R(x)n_f(n+1)(g)(n,1)!(x一x)n+l,0g在x与x0之间积分型余项R(x)=nf(n,i)g+e(x一x0)(x一x)n001(n,1)!o当函数f(x)在点x0的某邻域内有n+1阶连续导数时有丄Jxn!xf(n+1)(t)(x一t)ndt0余项在上述积分型余项的条件下有余项R(x)f(n1)(x0(X一X)*1一9)n(x一x)
3、n1,0,0，1nn!000特别地，X0时，余项为01R(X)f(n1)()(X一)nX,&在0与X之间nn!公式的项数无限增多时得f(n)(X0)(X-X)nn!0f(X)f(X0)广(X0)(X-X0)2!0(X一X0)2一X)n0艺f(n)(X0)(n!n=0自然会有以下问题对于在点X0无限次可导的函数f(X)在f(X)的定义域内或在点X的某邻域内函数f(X)和其级数是否相等呢回答是否定的01 n!例函数f(X)在点X=0无限次可微求得f(n)(X)一一,1一X(1一X)n1(X1),f(n)(0)=n!其级数为1XX2Xn区Xnn=0该幕级数的收敛域为(-1，1)仅在区间(-1，1)内
4、有f(X)另Xn而在其他点并不相等n=0因为级数发散.那么在级数的收敛点是否必有f(X)和其级数相等呢回答也是否定的.丄例函数f(x)=ex2，X0，在点X=0无限次可导且有f(n)(0)=0.,因此0,x=0.其级数三0，在(g,+S)内处处收敛但除了点x=0外函数f(X)和其级数并不相等另一方面由(和函数的性质)知：在点x0的某邻域内倘有f(x)区n0必为函数f(x)在点x0的级数f(x)在点x0无限次可导且级数另an(x-x0)nn0综上,我们有如下结论对于在点x0无限次可导的函数f(x)级数可能除点xx0外均发散参阅复旦大学编数学分析下册第题即便在点x0的某邻域内其级数级数收敛,和函数
5、也未必就是f(x).由此可见,不同的函数可能会有完全相同的若幕级数艺an(x-x0)n在点x0的某邻域内收敛于函数f(x)则该幕级数就是n0函数f(x)在点x0的级数于是为把函数f(x)在点x0的某邻域内表示为关于(x-%)的幕级数我们只能考虑其级数可展条件定理必要条件函数f(x)在点x0可展f(x)在点x0有任意阶导数定理充要条件设函数f(x)在点x0有任意阶导数则f(x)在区间0+r)(r0)内等于其级数即可展的充要条件是对Vxe(x,r)有limR(x)=00nnT，其中R(x)是n公式中的余项证把函数f(X)展开为n阶公式有If(x)S(x)IIR(x)I,nnf(x)limSnT，(
6、x),olimR(x)0nnT，定理充分条件设函数f(x)在点x0有任意阶导数且对导函数所成函数列f(n)(x)一致有界则函数f(x)可展证利用型余项设If(n)(x)lM贝响IR(x)|f心)n(n+1)!(xx)n+1M-0IxxIn+1小(n+1)!T，例3展开函数f(x)，x3-2x2x3,1)按x幂;)按2(x1)幂.解f(0)，x32x2x3,f(o)(0)，3,f(1)，8;所以f，6x4f(0)，4,f(1)，10;f(1)，6;f(4)，-,f(n)，0)1(x)，f(0)f(0)xx2x3可见x的多项式P(x)的n展开式就是其本身厂(1)厂(1)f(x)，f(1)f(1)(
7、x1)2!(x1)23_(x1)3，18(x1)5(x1)2(x1)3初等函数的幂级数展开式为得到初等函数的幂级数展开式,或直接展开,或间接展开ExnxG(一,)验证对VxG,f(n)(x)，ex在n!n，0区间0,x(或x,0)上有界,得一致有界.因此可展ExnInna.,IxIn!n，0n，0x2n1(2n1)!:cosx，x2n(Wn，0/n兀可展是因为f(n)(x)，sinx在(,十)内一致有界Ia丿二项式(1x)m的展开式m为正整数时（1x）m为多项式展开式为其自身m为不是正整数时可在区间（-1,1）内展开为.、.m(m1)m(m1)(m2)(mn1)(1X)m，1mXX2Xn对余项
8、的讨论可利用余项n!2!m为正整数时（1x）m为多项式展开式为其自身m为正整数时（1x）m为多项式展开式为其自身进一步地讨论可知参阅MuxTeHronbu微积分学教程二分册m-1时收敛域为（1,1）-1m0时收敛域为(-1,1m0时收敛域为1,1利用二项式（1X）m的展开式可得到很多函数的展开式例如取m，1得.+(1)nXn+.，1，1X+X21x1m，一一时21，1-11X21 -31-3-5XX2X32 -42-4-6间接展开:利用已知展开式,进行变量代换、四则运算以及微积运算,可得到一些函数的展开式.利用微积运算时,要求一致收敛.幂级数在其收敛区间内闭一致收敛,总可保证这些运算畅通无阻X
9、2x3/八Xny/八Xnln(1x)，x.(1)n1=(1)n1xe(1,123nnn，11事实上利用上述尺的展开式两端积分就有ln(1+x)，0吕,区(-1)ntndt=n，0m为正整数时（1x）m为多项式展开式为其自身m为正整数时（1x）m为多项式展开式为其自身，区(-1)n，0Xn1，艺(1)n1匸xe(1,1)n1nn，1验证知展开式在点X，1收敛因此在区间（1,1上该展开式成立x3x5x7yv、x2n+larctgx=x一+一+=厶(一1)n-3 572n+1n0由1+1x2一1Z，x（-1，1）两端积分有n0arctgxdt1+12dt丿艺(，1)njxt2ndtn0艺(1)nn0x2n+12n+1验证知上述展开式在点x1收敛因此该展开式在区间-1,1上成立1展开函数f(x)3x2-4x+11f(x)区3n+1xn一n0n01另1)xn,2n0展开函数f(x)(1+x)exf(x)ex+xex艺工+n!n0：xn+1n!n0艺工+艺n!n0xn,(n1)!n11+艺工+艺n!n1xn1(n+17!n1n1(1+n!(n1)!丿xn讦y1+n1+厶xnn1n!n0n!xn,IxI+
