《瓜豆原理——主从动点问题(解析)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《瓜豆原理——主从动点问题(解析)（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、瓜豆原理主从动点问题初中数学有一类动态问题叫做主从联动，这类问题应该说是网红问题，好多优秀老师都在研究它，原因是它在很多名校模考的时候经常出现，有的老师叫他瓜豆原理，也有的老师叫他旋转相似，我感觉这类问题在解答的时候需要有轨迹思想，就是先要明确主动点的轨迹，然后要搞清楚主动点和从动点的关系，进而确定从动点的轨迹来解决问题，但在解答问题时，要符合解不超纲的原则，所以最后解决问题还是用到了旋转相似的知识，也就是动态手拉手模型。涉及的知识和方法：知识：相似；三角形的两边之和大于第三边；点到直线之间的距离垂线段最短；点到圆上点共线有最值。方法：第一步：找主动点的轨迹 ；第二步：找从动点与主动点的关系；
2、第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹，第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值。类型1.求轨迹解析式例1如图，ABO为等腰直角三角形，A（4，0），直角顶点B在第二象限点C在y轴上移动，以BC为斜边作等腰直角BCD，我们发现直角顶点D点随着C点的移动也在一条直线上移动，这条直线的函数表达式是_【分析】抓住两个特殊位置：当BC与x轴平行时，求出D的坐标；C与原点重合时，D在y轴上，求出此时D的坐标，设所求直线解析式为ykx+b，将两位置D坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出所求直线解析式【解答】当BC与x轴平行时，过B作BEx轴，过D作DF
3、x轴，交BC于点G，如图1所示，等腰直角ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（4，0），AO4，BCBEAEEOGF1/2OA2，OFDGBGCG1/2BC1，DFDG+GF3，D坐标为（1，3）；当C与原点O重合时，D在y轴上，此时ODBE2，即D（0，2），设所求直线解析式为ykx+b（k0），将两点坐标代入得：-k+b=3, b=2，解得：k=-1,b=2则这条直线解析式为yx+2，当D（1，1）和D（2，0）于是得到yx+2，综上所述：这条直线的函数表达式是yx+2或yx+2故答案为：yx+2或yx+2【点评】本题考查了轨迹问题，待定系数法确定一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，坐标与
4、图形性质，熟练运用待定系数法是解本题的关键而本题若用一般方法求解，也不难，构造一线三直角全等可破解答：类型2.求经过的路径长例2.已知：如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿着ABC的方向以每秒钟1个单位长度的速度匀速运动，当点E到达点C时运动停止联结DE，以DE为边作正方形DEFG设运动的时间为x秒（1）如图，当点E在边AB上时，联结CG，求证：AECG；（2）如图，当点E在边BC上时，设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）直接写出，在点E的运动过程中，对应的点F的运动路径的长【分析】（1）由正方形的性质得出
5、ADCD，DEDG，ADE+EDCEDC+CDG90，证出ADECDG，由SAS证明ADECDG；（2）利用三角形的面积公式即可得出结论；（3）由（1）知，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F的位置如图：点F运动的路径为BF；同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；由勾股定理求出BD，即可得出结果【解答】（1）正方形ABCD，正方形DEFG，ADCEDG90，ADCD，DEDGADCEDCEDGEDC即：ADECDG在ADE和CDG中，AD=CD, ADECDG,DE=DG,ADECDGAECG（2）正方形ABCD的边长为2，ABBCCD2，BC
6、D90动点E从点A出发，沿着ABC的方向以每秒钟1个单位长度的速度匀速运动，且运动的时间为x秒EC4x，ySCDE1/2ECCD1/2（4x）24x所求函数解析式为y4x自变量x的取值范围是2x4（3）如图，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F运动的路径为BF；同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；由勾股定理可求得BD22，BF+FG2BD42，点F运动的路径长为42【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、平行线的判定与性质、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质、全等三
7、角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键例3在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E、F运动时间为t秒回答下列问题：（1）如图1，当t为多少时，EF的长等于45cm？（2）如图2，在点E、F运动过程中，求证：点A、B、F、P在同一个圆（O）上；是否存在这样的t值，使得问题中的O与正方形ABCD的一边相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；请直接写出问题中，圆心O的运动的路径长为_【分析】（1）由题意
8、可知：DEt，CFt，则EC12t，然后，在RtEFC中，依据勾股定理列方程求解即可；（2）首先证明ADEDCF，从而可得到CDFDAE，然后再证明DAP+ADP90，于是可证明APF+B180，故此可证明点A、B、F、P共圆；如图1所示：当O与CD相切时（切点为M）连接OM，并延长MO交AB与点N则AN6，ON12r，OAr，然后由勾股定理列方程求解即可；当AB为O的直径时，O与AD、BC都相切，从而可得到此时t的值；由于点A和点B均在O上，故此不存在AB与O相切的情况；点O运动的轨迹为ACB的中位线，从而可求得点O运动的路径【解答】（1）由题意可知：DEt，CFt，EC12t由勾股定理可知
9、：CE+CFEF，（12t）+t（45），解得：t4或t8当t为4或8时，EF的长等于45（2）由题意可知：DECFABCD为正方形，ADDC，ADCFCD在ADE和DCF中，DE=CF, ADCFCD,AD=DC，ADEDCFCDFDAECDF+ADP90，DAP+ADP90，APF90，APF+B180，点A、B、F、P在同一个圆（O）上如图1所示：当O与CD相切时（切点为M）连接OM，并延长MO交AB与点NDC与O相切，OMDC，ONAB，AN1/2AB6设O的半径为r，则ON12r，在RtAON中，由勾股定理得：6+（12r）r，解得r7.5AF15在RtABF中，由勾股定理可知：BF
10、9CF3，即t3秒当点F与点B重合时，AB为O的直径，O与BC、AD均相切，此时t12点A和点B均在O上，不存在AB与O相切的情况综上所述，当t3或t12时，O与正方形的一边相切点O为AF的中点，点F在CB上移动，点O运动的路径为ACB中AC和AB两边中点连线点O运动的路径1/2BC6cm故答案为：6cm【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了全等三角形的性质和判定、勾股定理、切线的性质，三角形中位线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键类型3.求最值问题例4.如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)，点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边ABC，连接O
11、C，则OC的最小值_.分析：点B为主动点，点C为从动点，根据瓜豆原理，BA绕点A逆时针旋转60到CA，主动点B的轨迹是y轴的正半轴，则从动点C的运动轨迹为y轴正半轴绕点A逆时针旋转60后的射线，我们可以用特殊位置来考虑当OC点C轨迹所在射线时，OC最短当然，我们也可以构造手拉手模型，将OC边转化，详细过程请见方法2解答：方法一:方法二:例5如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E、F分别从点D和点C出发，沿着射线DA、射线CD运动，且DECF，直线AF、直线BE交于H点（1）当点E从点D向点A运动的过程中：求证：AFBE；在图中画出点H运动路径并求出点H运动的路径长；（2）在整个运动过程中：线
12、段DH长度的最小值为_线段DH长度的最大值为_【分析】（1）根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明ABEDAF，得到ABEDAF，根据垂直的定义证明即可；根据90的圆周角所对的弦是直径画出点H运动路径，根据弧长公式求出点H运动的路径长；（2）根据勾股定理求出PD，根据点与圆的最小距离求出DH长度的最小值；与类似，求出DH长度的最大值【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ADCD，又DECF，AEDF，在ABE和DAF中，AB=AD, BAEADF，AE=DF，ABEDAF，ABEDAF，又BAH+DAF90，BAH+ABE90，即AHB90，AFBE；AHB90，点H运动路径是以AB
13、为直径的圆的一部分，如图1所示：点H运动的路径长为：902180=；（2）设AB的中点为P，连接PD，当点H在PD设时，DH最小，由题意得，AP2，AD4，由勾股定理得，PD25，则DH长度的最小值为：252，故答案为：252cm；由可知，DH长度的最大值为25+2，故答案为：25+2cm【点评】本题考查的是正方形的性质、轨迹问题、最大值和最小值的确定，掌握正方形的性质、圆的概念是解题的关键综述所示，我们可以归纳提炼上述解题思想方法：第一步：找主动点的轨迹 ；第二步：找从动点与主动点的关系；第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹，第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值。以上方法，我们在解题时，如果遇见同类问题时，可以考虑应用这些思想方法。
