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1、20132014学年度第一学期检测试题高 三 数 学 201311全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）注意事项：1 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方2第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效3选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试第 一 部 分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1复数的实部为 2命题“”的否定是 3已知向量，且，则实数 . 4已知直线和，若，
2、则 5已知，且，则 6已知实数，满足，则目标函数的最小值为 7已知函数，若函数的零点所在的区间为，则 .8（2013.12）若双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，则 8、1 9若函数是偶函数，且它的值域为，则 10的图象与直线相切，相邻切点之间的距离为 若点是图象的一个对称中心，且， 则 11（2013.12）椭圆的一条准线与轴的交点为，点为其短轴的一个端点，若的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为 11、12函数，若，且，则的最小值为 13 已知向量，满足，若，则所有可能的值为 14设圆的切线与轴正半轴，轴正半轴分别交于点，当取最小值时，切线在轴上的截距为 二、解答题：（本大题共6道题，计90分解
3、答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（本题满分14分）已知集合，.（1）若，求集合；（2）若，求实数的取值范围.16（本题满分14分）在中，分别为角所对的边，已知向量，且.（1）求角的大小；（2）若，求的值.17（2013.12）（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，已知圆:，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点，线段的中点为。(1)求的取值范围；(2)若，求的值。17、（1）方法一：圆的方程可化为，直线可设为，即，圆心到直线的距离为，依题意，即，解之得：； 7分方法二：由可得：，依题意，解之得： （2）方法一：因为，且斜率为，故直线：，由可得，又是中点，所以，即，解之得：15
4、分方法二：设，则由可得：，所以，又，且斜率为，所以，即，也就是，所以，解之得：方法三：点的坐标同时满足，解此方程组，消去可得18（本小题满分15分）某小区有一块三角形空地，如图ABC，其中AC=180米，BC=90米，C=，开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场所，在ABC内的P点处有一服务站（其大小可忽略不计），开发商打算在AC边上选一点D，然后过点P和点D画一分界线与边AB相交于点E，在ADE区域内绿化，在四边形BCDE区域内修建运动场所现已知点P处的服务站与AC距离为10米，与BC距离为100米设DC=米，试问取何值时，运动场所面积最大？19（本小题满分16分）如图，椭圆：（）和圆：
5、，已知圆将椭圆的长轴三等分，椭圆右焦点到右准线的距离为，椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点、（1）求椭圆的方程；（2）若直线、分别与椭圆相交于另一个交点为点、.求证：直线经过一定点；y试问：是否存在以为圆心，为半径的圆，使得直线和直线都与圆相交？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由。20（本小题满分16分）已知函数，其中为实常数.（1）若在上恒成立，求的取值范围；（2）已知，是函数图象上两点，若在点处的两条切线相互平行，求这两条切线间距离的最大值；（3）设定义在区间上的函数在点处的切线方程为，当时，若在上恒成立，则称点为函数的“好点”试问函数是否存在“好点
6、”若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，请说明理由 第二部分（加试部分）（总分40分，加试时间30分钟）注意事项： 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答题卷上规定的位置解答过程应写在答题卷的相应位置，在其它地方答题无效21（本题满分10分）已知矩阵的一个特征值是，求矩阵的另一个特征值，及属于的一个特征向量。22（本题满分10分）已知的展开式中第项的二项式系数与第项的二项式系数之比为：.（1）求的值；（2）求展开式中的常数项（用组合数表示）。23（本题满分10分）一个盒子中装有5张相同的卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是，现从盒子中随机抽取卡片。（1）若从盒子中有
7、放回的抽取次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为偶数的概率；（2）从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当抽到记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数的概率分布列和数学期望。24（本题满分10分）在平面直角坐标系中，已知点，是动点，且的三边所在直线的斜率满足（1）求点的轨迹的方程；（2）点在直线，过作（1）中轨迹的两切线，切点分别为，若 是直角三角形，求点的坐标。参 考 答 案1、2、3、4、5、6、7、18、1 9、 10、11、12、213、0、214、解析：设直线与坐标轴的交点分别为，显然，则直线：，依题意：，即，所以，所以，设，则设，则，又，故当
8、时，单调递减；当时，单调递增；所以当，时，有最小值15、（1）由得即，2分当时，由得或 4分所以 7分（2）由得或即 9分因为，所以，12分即. 14分16、（1）因为，所以， 即： 3分因为，所以，故，5分因为，所以. 7分（2）由（1）可知，因为，所以， 9分又， 由解得 11分所以 14分17、（1）方法一：圆的方程可化为，直线可设为，即，圆心到直线的距离为，依题意，即，解之得：； 7分方法二：由可得：，依题意，解之得： （2）方法一：因为，且斜率为，故直线：，由可得，又是中点，所以，即，解之得：15分方法二：设，则由可得：，所以，又，且斜率为，所以，即，也就是，所以，解之得：方法三：点
9、的坐标同时满足，解此方程组，消去可得18、解法一：以C为坐标原点，CB所在直线为轴，CA所在直线为轴建立直角坐标系，2分则，DE直线方程：，4分AB所在直线方程为，6分解、组成的方程组得，8分直线经过点B时，10分=，设，=，（当且仅当，即时取等号），此时，当=60时，绿化面积最小，从而运动区域面积最大15分解法二：如图，分别过点作的垂线，垂足为，设，则若如图1所示，则，由得，即，从而，由得，解得（若如图2所示，则，由得，解得）由得，由（下同解法一）19、（1）依题意，则，又，则，椭圆方程为4分（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则：，由得或，6分用去代，得，方法1：，：，即
10、，直线经过定点方法2：作直线关于轴的对称直线，此时得到的点、关于轴对称，则与相交于轴，可知定点在轴上，当时，此时直线经过轴上的点，、三点共线，即直线经过点，综上所述，直线经过定点10分由得或，则直线：，设，则，直线：，直线：，13分假设存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，则由（）得对恒成立，则，由（）得，对恒成立，当时，不合题意；当时，得，即，存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，所有的取值集合为16分解法二：圆，由上知过定点，故；又直线过原点，故，从而得20、解：（1）方法一：在上恒成立，即为在上恒成立，时，结论成立；时，函数图象的对称轴为，所以函数在单调递增，依题
11、意，即，所以；不合要求，综上可得，实数的取值范围是 4分方法二：在上恒成立等价于，令因为，所以，故所以.（2）设，过点的两切线互相平行，则，所以（舍去），或，过点的切线：，即，6分过点的切线：两平行线间的距离是，因为，所以即两平行切线间的最大距离是10分（3），设存在“好点”， 由，得，依题意对任意恒成立，因为，13分所以对任意恒成立，若，不可能对任意恒成立，即时，不存在“好点”；若，因为当时，要使对任意恒成立，必须，所以，综上可得，当时，不存在“好点”；当时，存在惟一“好点”为16分21解：矩阵的特征多项式是，由得，令，则或，解方程组可得一组不为零的解是所以矩阵的另一个特征值是，属于的一个特征向量是22解：（1） 第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为1：7.，解得5分（2）由（1）得，令，则，所以常数项为第项，10分23解：（1）依题意：每次取到偶数的概率为，设表示事件“有放回的抽取次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到卡片的数字为偶数”则；5分（2）依题意：，则，所以的分布列为： 所以，10分24解：（1）设，由得：，即，所以点的轨迹的方程是：，且，3分（2）因为，所以，设，则，由于是曲线的切线，所以，即，同理，两式相减可得，又，故，若，则，所以，由，得，此时；6分若，则，即化简得：，即，又，即由可得所以，若，同理可得；综上可得，所求点有两个：，和10分
