6.7 二重积分的概念与性质

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1、1利用二重积分定义证明:。【证明】由二重积分定义，得，证毕。2利用二重积分的几何意义说明：(为常数,为积分区域的面积）。【说明】二重积分的几何意义，就是说，二重积分就是以为曲顶的柱体体积，于是知，二重积分表示以平面为顶的柱体体积，而以平面为顶的柱体体积，等于其底面积乘上其高，但该柱体的底面积就是积分区域的面积，从而得，。3.利用二重积分的性质估计下列积分的值:,其中积分区域;【解】由于区域，可知区域的面积为，而由于,，可得，从而有,由二重积分性质6.5(估值不等式)即得亦即为 。,其中积分区域；【解】由于区域，可知区域的面积为,而由于,，可得，从而，由二重积分性质.7。5（估值不等式）即得亦即

2、为 ，整理得。,其中积分区域。【解】由于区域,可知区域的面积为,下面求函数在条件下的最大、最小值，亦即椭圆抛物面在圆柱内部的最大、最小值，易见，可知,当时等号成立,又可知，椭圆抛物面与圆柱的交线,在椭圆簇的短轴上达到最高,亦即当，时，函数取得最大值，最大值为,因此得，由二重积分性质7。5（估值不等式)即得亦即为 ,整理得 。4利用二重积分的性质比较下列积分的大小：与，其中积分区域D由轴,轴与直线所围成.【解】积分区域D如图由图可见,在区域D中，,于是由于函数(）是减函数,而知以为底的指数函数是增函数，即由有，于是，由二重积分性质6。7。4(不等式性）即得。与,其中。【解】积分区域D如图由于在区域中有，,可得，于是,于是由于函数（)是增函数，可知以为底的指数函数是增函数,即由得，于是,由二重积分性质6。（不等式性）即得。5若,则积分区域可以是（ ）。（A）由轴，轴与直线所围成的区域；（B)由,及，所围成的区域；()由，所围成的区域;（D）由,所围成的区域。【解】应填“(C）”。因为，而下面各区域的面积为:（）由轴，轴与直线所围成的区域如图得;（B）由,及，所围成的区域如图得;（C）由，所围成的区域如图得;至此，可以终止判断了。事实上有：(D）由，所围成的区域如图得.文中如有不足，请您见谅！ /