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1、摘要随着社会的不断发展，排污问题备受关注，水资源密系民生，环保问题不容忽视。本文就工厂污水处理费用问题做了合理分析。针对问题一，为使江面上所有地段的水污染达到国家标准且花费最少，并结合污水排放浓度和江水的自净能力，得到此问题属于运筹学中在约束条件下求最优解的问题。基于对江水浓度的限定与对花费最少两方面的考虑，建立线性规划模型，最终利用求解结果为当三个处理厂排出的污水浓度分别为 ，时，得到最少费用为489.5万元。针对问题二，分别就居民点在处理站前、处理站后和处理站正对面进行分析。由江水稀释公式，可得处理费用与污水浓度之间的关系，求得以上三种情况的最小费用分别为：居民点在处理站前时，当处理厂1、
2、处理厂2和处理厂3出口的污水浓度依次为、和时，花费为183.3333万元；居民点在对应处理站后不远处或正对面为489.5万元。针对问题三，求总费用最少可等价于求网路铺设后最短管长，其中江中管道长度按四倍算其等效长度。先假设只有一个污水处理厂，在平面上找一点，使其与其它六点构成的最小生成树，并求其等效长度，找出其中等效长度最小的点即为所求。算得最小费用为273.7545万元。按上述方法计算两个污水处理厂时的情况，求得最小费用为311.0369万元。由于三个以上处理厂费用已经高于建立一个处理厂费用，于是不可取。于是污水处理厂个数为1，位置为居民点1与工厂1连线与江岸的交点，最小费用为273.754
3、5万元。新城为该管道铺设区的任意位置。针对问题四，考虑到污水排放量的大小，因此将污水处理厂的位置建设在工厂区一岸，新城区的选取位置在工厂区一附近，其污水排放到工厂区一。考虑到污水汇合的情况，首先建立只有一个污水交汇点的情况，再增加污水交汇点，逐步对模型一进行优化，最后再在河岸两边增加两点，优化管道过河的费用，最终得到污水交汇点的个数为5个的时候所用的建设费用最少，此时费用为：148.6025万元。 关键词：运筹学 线性规划 最优解 最小生成树 自净能力一 、问题重述1.1 问题背景上游江水流量为，污水浓度为，3个工厂的污水流量均为，污水浓度（从上游到下游排列）分别为100，60，50，处理系数
4、均为，3个工厂之间的两段江面的自净系数（从上游到下游）分别为0.9，0.6。国家标准规定水的污染浓度不能超过。1.2具体问题 （1）为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？（2）如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准,最少需要花费多少费用？（3）为了扩展城市发展空间，改善环境，计划在江水的上游建一个10万人口的新城，并对工厂废水及所有居民的生活污水用管线连接起来进行统一处理，已知建一个污水处理厂的成本为120万元，在江岸两边建管线的费用为，跨江管线费用为普通的4倍,居民点1,2,3的污水流量均为，污水浓度（从上游到下游排列）分别为25，6，4，新城的污水流量控制在
5、以内，且污水浓度不超过，处理系数均为请根据以上条件，确定新城的位置及污水处理厂的个数和位置。使在符合国家标准规定的条件下总的费用最小。（4）在实际的施工过程中，仅用一种规格的污水采集管是不够的，如在采集管汇合后，要采用更大口径的管道。市面上有以下几种污水采集管，并根据所给表中数据，重新确定新城及污水处理厂的位置，使总的费用最小，并给出管道铺设方案。二、问题分析通过对该污水处理所花费用最少问题的分析，可知在此问题中有多个污水浓度，江水的原始污水浓度，工厂排出的污水浓度，处理厂排出的污水浓度，以及当处理厂排出污水与江水混合后再经江水自净后的浓度，在这几个浓度中只有经处理厂排出的污水的浓度是未知的，
6、其关系着整个问题，要使总费用最少，江中每段的污水浓度都达到国家标准，那么江水中污水浓度在到达下一居民点之前须达到国家标准。2.1 问题一的分析针对问题一，为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准,最少需要花费多少费用的解也就是说对于工厂1，2,3所排出的污水经过污水处理厂处理后的污水与江水混合后的污水浓度达到国家标准。此问题属于在约束条件下求最优解的问题，我们只需要将满足经处理站处理后的污水达到国家规定的污水浓度，并且以工厂处理费用为目标函数，求其最小值即可。2.2 问题二的分析针对问题二，题目没有明确指明居民点的位置，只是说明在处理站对面是居民点，所以居民区可以有多种排法，它们可以在对应处理
7、站前，也可在对应处理站后，或正对面，因此这里只假设对应居民区与处理站前后相距不远。因此可分为三种情况考虑。一是当居民点在对应处理站前，二是当居民点在对应处理站后时，三是居民点在对应处理站的正对面的情况。2.3 问题三的分析针对问题三，为使水污染达到国家标准且费用最少，对于污水处理厂的个数以及新城位置的确定，可通过设三个工厂和三个居民点为六个污水排放点，求解出连接六个污水排放点以及污水处理厂的最短距离，然后进行计算所需费用即可。2.4 问题四的分析对于问题四，考虑进实际的施工条件，污水采集管需要使用不同的规格，使所花费用为最少的情况，其实就是要找到所有污水排放点距离污水处理厂最近的情况，再结合各
8、个污水排放点的污水流量选择相应合适规格的污水采集管，从而计算所花费用。对于新城位置的确定，为使花费最少，新城应离处理厂越近越好。三、模型假设 1. 假设长江的水流量固定，不会因为加入污水或改变污水浓度而改变。2. 假设污水之间无反应，不会因为污水反应而改变污水量或污水浓度。3. 假设居民区不产生污水。4. 假设江水的自净作用对所有污水都有效。5. 假设污水在进入长江之后是分布均匀的。6. 假设在对进行污水处理时，不改变污水流量，只改变污水浓度。7. 假设管道的的最大流量大于等于。8. 假设任意居民点与任意工厂之间都可以铺设直线管道。9. 假设任意河段可以修直线管道。10. 假设任一点可以建设污
9、水处理厂且其处理污水的能力大于。11. 假设居民区上游任一点可以建设新城。四、符号说明符号含义总的污水处理费用工厂的处理系数工厂处理前的污水浓度工厂处理后的污水浓度工厂的污水流量工厂所排出的污水经过污水处理厂处理后的污水与江水混合后的污水浓度长江上游的江水流量长江上游的江水浓度工厂1,2之间两段江面的自净系数工厂2，3之间两段江面的自净系数工厂1污水处理费用工厂1，2污水处理费用之和等效管长（江中管道长度按普通管道长度的4倍计算）污水处理厂到江边的距离江岸两边建管线的单位费用建污水处理厂的费用污水排放点污水处理厂污水排放点到污水排放点的距离污水排放点到污水处理厂的距离相应规格管道单价五、模型建
10、立与求解5.1 问题一模型的建立与求解 工厂的花费受污水浓度与国家污水浓度规定浓度限制，因此，为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准且使花费最少，可用线性规划模型来解决此问题，建立以工厂处理费用为目标函数，如下： （1）其中，为总的污水处理费用；为工厂的处理系数；为工厂处理前的污水浓度；为工厂处理后的污水浓度；为工厂的污水流量。考虑到长江上游污水浓度达到国家标准以及江水的自净能力特性，此题的约束条件为处理厂和江水自净功能的共同作用下使得工厂江水的浓度达到国家规定的污水浓度，因此有以下约束条件： 其中，为长江上游的江水流量；为工厂的污水流量；为长江上游的江水浓度；为工厂处理后的污水浓度；为工厂
11、之间两段江面的自净系数。利用代入数据求解得到，当，万元。所以要使江面所有地段污水浓度均达到国家标准，所花最小费用为489.5万元。5.2 问题二模型的建立与求解 因为题目没有明确指明居民点的位置，所以居民区可以有多种分布，它们可以在对应处理站前，也可在对应处理站后，或正对面，因此这里只假设对应居民区与处理站前后相距不远。则可分为三种情况考虑。具体如下：当居民点在对应处理站前时，如下图所示：工厂1工厂3居民区1居民区3江水开始自净江水完成自净自净区域1工厂2居民区2自净区域2江水开始自净江水完成自净图1 居民点在对应处理站前的分布图建立目标函数为： （2）其中，为总的污水处理费用；为工厂的处理系
12、数；为工厂处理前的污水浓度；为工厂处理后的污水浓度；为工厂的污水流量。其约束条件为： 然后利用代入数值计算得到，当处理厂1、处理厂2和处理厂3出口的污水浓度依次为、和时，工厂1花费183.3333万元，工厂2不用处理污水，工厂3也不用处理污水。 所以如果只要求三个居民点上游（居民点在对应处理站前不远处）的水污染达到国家标准，最少需要花费为183.333万元。当居民点在对应处理站后时，目标函数为： （3）其中，为总的污水处理费用；为工厂的处理系数；为工厂处理前的污水浓度；为工厂处理后的污水浓度；为工厂的污水流量。约束条件为： 这样为使居民点上游（居民点在对应处理站后不远处）的水污染达到国家标准，
13、则工厂就要在污水流到江水以前把污水处理得符合国家标准，那么就与问题（1）相同。同理居民点在对应处理站的正对面的情况下，也是与问题（1）相同。 5.3 问题三模型的建立与求解为使水污染达到国家标准且费用最少，对于污水处理厂的个数的确定以及新城位置的确定，可通过设三个工厂和三个居民点为六个污水排放点，以居民点1建立坐标系，如图1所示。若要求解连接六个污水排放点以及污水处理厂的最短线路，求总费用最少，给出如下目标函数： （4)其中，为等效管长（江中管道长度按普通管道长度的4倍计算）；为污水处理厂到江边的距离；为江岸两边建管线的单位费用；为建污水处理厂的费用。 由于污水处理厂个数及位置未知，先假设只有一个污水处理厂，在平面上找一点，使其与其它六点构成最小生成树，并求其等效长度，找出其中等效长度最小的点即为所求。有如下约束条件： 其中，为污水排放点；为污水处理厂；为污水排放点到污水排放点的距离；为污水排放点到污水处理厂的距离。 （5）其中，为污水排放点到污水排放点的距离。由计算得到表1所示结果：表1 污水排放点之间的距离计算结果统计表工厂1工厂2工厂3居民点1居民点2居民点3工厂105.09911.810613.216.969628.309工厂25.09906.818417.2115
