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1、最新精选优质数学资料最新精选优质数学资料22直接证明与间接证明22.1直接证明学习目标1.了解直接证明的两种基本方法综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题知识链接1综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”2必修5中基本不等式(a0，b0)是怎样证明的？答要证，只需证ab2，只需证ab20，只需证()20，因为()20显然成立，所以原不等式成立预习导引1直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立的
2、证明通常称为直接证明综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式2综合法从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法通常称为综合法3分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法通常称为分析法.要点一综合法的应用例1已知a，b是正数，且ab1，求证：4.证明方法一a，b是正数且ab1，ab2，4.方法二a，b是正数，ab20，20，(ab)4.又ab1，4.方法三11224.当且仅当ab时，取“”规律方法利用综合法证明问题的步骤：(1
3、)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的优化解法(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法跟踪演练1在ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：ABC为等边三角形证明由A、B、C成等差数列，有2BAC.因为A、B、C
4、为ABC的内角，所以ABC.由，得B.由a、b、c成等比数列，有b2ac.由余弦定理及，可得b2a2c22accosBa2c2ac.再由，得a2c2acac，即(ac)20，因此ac，从而有AC.由，得ABC.所以ABC为等边三角形要点二分析法的应用例2设a，b为实数，求证：(ab)证明当ab0时，0，(ab)成立当ab0时，用分析法证明如下：要证(ab)，只需证()22，即证a2b2(a2b22ab)，即证a2b22ab.a2b22ab对一切实数恒成立，(ab)成立综上所述，不等式得证规律方法分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已
5、知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的它的常见书写表达式是“要证只需”或“”跟踪演练2如图所示，SA平面ABC，ABBC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.求证：AFSC.证明要证AFSC，只需证SC平面AEF，只需证AESC(因为EFSC)，只需证AE平面SBC，只需证AEBC(因为AESB)，只需证BC平面SAB，只需证BCSA(因为ABBC)由SA平面ABC可知上式成立，所以AFSC.要点三综合法和分析法的综合应用例3已知a、b、c是不全相等的正数，且0x1.求证：logxlogxlogxlogx
6、alogxblogxc.证明要证明logxlogxlogxlogxalogxblogxc，只需要证明logxlogx(abc)由已知0xabc.由公式0，0，0，又a，b，c是不全相等的正数，abc.即abc成立logxlogxlogxlogxalogxblogxc成立规律方法综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证跟踪演练3设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b
7、，b与c的等差中项，求证：2.证明由已知条件得b2ac，2xab,2ybc.要证2，只要证aycx2xy，只要证2ay2cx4xy.由得2ay2cxa(bc)c(ab)ab2acbc，4xy(ab)(bc)abb2acbcab2acbc，所以2ay2cx4xy.命题得证.1下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是间接证明法；分析法是逆推法其中正确的语句有_个答案4解析正确2设a，b是两个正实数，且ab；ba；ba；ba.答案3求证：2.证明因为logab，所以左边log1952log1933log192log195log1932log1923log19(532
8、23)log19360.因为log19360log193612，所以2.4已知1，求证：cossin3(cossin)证明要证cossin3(cossin)，只需证3，只需证3，只需证1tan3(1tan)，只需证tan，1，1tan2tan，即2tan1.tan显然成立，结论得证1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因2分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语3在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的没有分析就没有综合；没有综合也没有分析问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，
9、综合法伴随着它；有时却恰恰相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它一、基础达标1分析法是_执果索因的逆推法；执因导果的顺推法；因果分别互推的两头凑法；寻找结论成立的充要条件的证明办法答案2设a，b是正实数，以下不等式；a|ab|b；ab2恒成立的序号是_答案解析当ab时，不成立a，b为正数，ab|ab|，成立ab22，故成立3设函数f(x)是定义在R上，周期为3的奇函数，若f(1)1，f(2)，则a的取值范围为_答案a1或a0解析由题意得f(2)f(13)f(1)1，f(2)1，即1.0，即3a(a1)0.a1或a0.4如果abab，则正数a，b应满足的条件是_答案ab解析abab，(ab)
10、(ba)0，(ab)()0.()()20，0即ab.5要证明g(x)恒成立，则实数b的取值范围是_答案(2，)解析由已知得3xb，所以h(x)6x2b.h(x)g(x)恒成立，即6x2b，3xb恒成立在同一坐标系内，画出直线y3xb及半圆y(如图所示)，可得2，即b2，故答案为(2，)7在ABC中，三边a，b，c成等比数列，求证：acos2ccos2b.证明左边(ac)(acosCccosA)(ac)(ac)(ac)bbb右边acos2ccos2b.二、能力提升8设0x1，则ax，b1x，c中最大的一个是_答案c解析bc(1x)0，bxa，abc.9p，q(m，n，a，b，c，d均为正数)，则
11、p，q的大小关系为_答案pq解析qp.10.如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_时，有A1CB1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)答案对角线互相垂直解析本题答案不惟一，要证A1CB1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1CC1，故只需证B1D1A1C1即可11已知a0，b0，1.求证：.证明要证成立，只需证1a，只需证(1a)(1b)1(1b0)，即1baab1，abab，只需证1，即1.由已知a0，1成立，成立12求证抛物线y22px(p0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x相切证明如图，作AA、BB垂直准线，取AB的中点M，作MM垂直准线要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证MMAB由抛物线的定义：AAAF，BBBF，所以ABAABB，因此只需证MM(AABB)，根据梯形的中位线定理可知上式是成立的所以以过焦点的弦为直径的圆必与x相切三、探究与创新13设数列an的前n项和为Sn，已知a11，an1n2n，nN*.(1)求a2的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.(1)解当n1时，2a1a212，解得a24.(2)解2Snnan1n3n2n，当n2时，2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)，
