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1、5.1扭转的概念及外力偶矩的计算5.1.1、扭转的概念在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。例如图示5.1,常用的螺丝刀拧螺钉。图5.1图示5.2,用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。图5.2图示5.3，载重汽车的传动轴。图5.3图示5.4,挖掘机的传动轴。图5.4图5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成（图5.5a）,雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来 均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图5.5b）,雨蓬梁处于受扭状态。(b)图5.5分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线
2、相对转动了一个角度，称为田转角，用表示，如图5.6所 示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。图5.6本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。5.1.2、外力偶矩的计算工程中常用的传动轴(图)是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出 的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率 和转速之间的关系为：Nm = 9550(5.1)n式中 m-作用在轴上的外力偶矩，单位为N - m ；N-轴传递的功率，单位为kW ；n轴的转速，单位为r/min。图5.75.2轴扭转时横截面上的内力及扭矩图5.2.1扭矩已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的
3、内力。图5.8a为受扭圆轴，设 外力偶矩为M，求距A端为x的任意截面m-n上的内力。假设在m-n截面将圆轴截开，e取左部分为研究对象（图5.8b）,由平衡条件YM二0，得内力偶矩T和外力偶矩M的关系xe内力偶矩T称为扭矩。扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。m/陆（c 图5.8图示5.8的b和c,从同一截面截出的扭矩均为正号。扭矩的单位是N-m或kN-m o5.2.2扭矩图为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律，以便于确定危险截面，常用与轴线平行的x坐标 表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上, 正值扭矩画在x轴上方
4、，负值扭矩画在X轴下方。这种图形称为扭矩图。例题5.1图示传动轴，转速n = 300 r min，A轮为主动轮，输入功率N = 10 kW，B、AC、D为从动轮，输出功率分别为N = 4.5 kW , N = 3.5 kW , N = 2.0 kW，试求各段BCD扭矩。解：1、计算外力偶矩M 二 9549 - Na 二 9549 x 10 kW 二 318.3 N - m eAn300 r minN4.5 kWM 二 9549 - b 二 9549 x . 二 143.2 N - m eBn300 r minN3.5 kWM = 9549 - C = 9549 x二 111.4N - meCn
5、N2.0 kWM = 9549 - d = 9549x= 63.7 N - meDn2、分段计算扭矩，设各段扭矩为正，用矢量表示，分别为T = M = 143.2 N - m （图 c）1 e BT = M - M = 143.2 N - m - 318.3 N - m = -175 N - m （图 d）2 e Be AT = M = -63.7 N m（图 e）3 e DT ， T 3为负值说明实际方向与假设的相反。233、作扭矩图|T|= 175N - mmax(3 )9163.7 N*m143.2 N175 N - m例题5.1图53等直圆轴扭转时横截面上的切应力5.3.1实心圆轴横截
6、面上的应力工程中要求对受扭杆件进行强度计算，根据扭矩T确定横截面上各点的切应力。下面用实心圆轴推导切应力在横截面上的分布规律。1、变形几何关系取一实心圆轴，在其表面等距离地画上圆周线和纵向线，如图5.9 (a)所示，然后在圆轴两端施加一对大小相等、方向相反的扭转力偶矩M，使圆轴产生扭转变形，如图5.9 (b) e所示，可观察到圆轴表面上各圆周线的形状、大小和间距均未改变，仅是绕圆轴线作了相对转动；各纵向线均倾斜了一微小角度图5.9根据观察到的现象，由表及里作出如下假设。变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面，即平面假设；横截面上的半径仍保持为直线；各横截面的间距保持不变。圆轴扭转时，横截面上的
7、切应力非均匀分布，仅依靠静力方程无法求出，必须利用变形条件建立补充方程，即切应力的导出需按解超静定问题的相似步骤进行。根据上述假设，从圆轴中取相距为dx的微段进行研究，如图5.10 (a)所示。(b)图 5.10设半径R，根据平面假设，可以设想扭转时各横截面如同刚性平面一样绕杆轴作相对转动。则 n由图可知变形后，纵向线段AB变为AB, AB和AB的夹角为丫（切应变），BB对应横截 面的圆心角d申，在小变形的条件下可以建立如下关系。nBB 二 Ydx 二 R - dqdqdx为了研究横截面上任意点的切应变，从圆轴截面内取半径为P的微段，如图5.10 （b）所(5.2)示。同理可得丫 = P T
8、dx上式表明，横截面上任意点的切应变同该点到圆心的距离P成正比关系。2、物理关系根据剪切胡克定律，在剪切比例极限之内（或弹性范围以内）切应力和切应变成正比关系t = gy将（5-2）式代入上式，得(5.3)Tp= GYp= GP 譽上式表明，圆轴扭转时，横截面上任意点处的切应力t与该点到圆心的距离P成正比,Pdq其分布如图5.11所示，式中丁可利用静力方程确定。dx图 5.113、静力学关系根据图5.11所示，横截面上任意点的切应力工和扭矩有如下静力学关系 PJ pi dA = TA将（5.3）式代入G 毁 J p 2dA = T dx A式中，J p 2dA二I称截面的极惯性矩，代入上式，得
9、Apdp _ T dX - gT p将（5.4）式代入（5.3）式，得到圆轴扭转横截面上任意点切应力公式5.4)T-pIp5.5)当p = R时，表示圆截面边缘处的切应力最大T =-max I W5.6)式中，wp称为抗扭截面系数。它是与截面形状和尺寸有关的量。5.3.2极惯性矩和抗扭截面系数极惯性矩I和抗扭截面系数W 可按其定义通过积分求得。下面介绍其计算方法。PP对于图5.12 （a）实心圆轴，可在圆轴截面上距圆心为p处取厚度为dp的环形面积作为微面积必，于是dA = 2兀p/p，从而可得实心圆截面的极惯性矩为I = J pA 2 dA = 2兀 J: p 3 dp =P A0兀D 4-3
10、2抗扭截面系数为兀D 4 I/32 兀 D3W=3 =p D/2D 216如为图(b)空心圆轴，则有D兀兀D 4I =J pA2dA = 2兀J 2 p3dp =(D4 d4) =(1 a4)P Ad32322式中a = D为空心圆轴内外径之比。空心圆轴截面的抗扭截面系数为W =丄= -D3 (1 -a 4)p D/216极惯性矩1p的量纲是长度的四次方常用的单位为如4或m4。抗扭截面系数的 量纲是长度的三次方，常用单位为mm3或m3。图 5.125.4等直圆轴扭转时的强度计算5. 4.1圆轴扭转强度条件工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过材料的许用切应力L1即T 心 tmax|Wp ma
11、x对于等截面圆轴，表示为T= max Wilmax Wp上式称为圆轴扭转强度条件试验表明，材料扭转许用切应力L 和许用拉应力L 有如下近似的关系。塑性材料 口= 0.50.6脆性材料 t= 0.81.0匸例题5.2汽车的主传动轴，由45号钢的无缝钢管制成，外径 D = 90 mm，壁厚8 = 2.5 mm，工作时的最大扭矩T = 1.5 N-m，若材料的许用切应力L = 60 MPa，试校核该轴的强度。解：1、计算抗扭截面系数主传动轴的内外径之比d _ 90 - 2 x 2.5D 90_ 0.944抗扭截面系数为兀 D3兀 X (90)3W _(1-a4) _(1-0.9444)mm3 _ 2
12、95 x 102mm3p 16 162、计算轴的最大切应力T 1.5x106 N-mmt _ 50.8 MPamax W295x102 mm3p3、强度校核t _ 50.8 MPa T 主传动轴安全max例题 5.3 如把上题中的汽车主传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试 确定实心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。解：1、求实心轴的直径，要求强度相同，即实心轴的最大切应力也为51 MPa ，即T 1.5 x106 N - mm _nD 316t = 51MPaWp16 x1.5 x106 N - mmn x 51 MPaD = 3= 53.1 mm2、在两轴长度相等、材料相同
13、的情况下，两轴重量之比等于两轴横截面面积之比，即nA4（D2 -d2） 902 -852空=0.31An53.12实D 241讨论：由此题结果表明，在其它条件相同的情况下，空心轴的重量只是实心轴重量的31%，其节省材料是非常明显的。这是由于实心圆轴横截面上的切应力沿半径呈线性规律分布，圆 心附近的应力很小，这部份材料没有充分发挥作用，若把轴心附近的材料向边缘移置，使其成为空心轴，就会增大I或W，从而提高了轴的强度。然而，空心轴的壁厚也不能过薄，否 pp则会发生局部皱折而丧失其承载能力（即丧失稳定性）。5.5 等直圆轴扭转时的变形及刚度条件5.5.1圆轴扭转时的变形dpT轴的扭转变形用两横截面的相对扭转角表示，由6.4）式丁二，可求dx段的相对dx GIp扭转角。dp =dxGIp当扭矩为常数，且GI也为常量时，相距长度为l的两横截面相对扭转角为 pTTl二dx 二一iGIGIpprad （弧度）5.7)式中，GI称为圆轴扭转刚度，它表示轴抵抗扭转变形的能力。 p相对扭转角的正负号由扭矩的正负号确定，即正扭矩产生正扭转角，负扭矩产生负扭转角。若两横截面之间T有变化，或极惯性矩I变化，亦或材料不同（切变模量G变化），则 p应通过积分或分段计算出各段的扭转角，然后代数相加，即：n T li iGIi=1 i pi在工程中，对于受扭转圆轴的刚
