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1、二次根式知识梳理二次根式：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义二次根式的性质1. 非负性：是一个非负数2、3. 4. 公式与的区别与联系（1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数（2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数（3）和的运算结果都是非负的最简二次根式：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，
2、如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： 单项二次根式：利用来确定，如：，与等分别互为有理化因式。 两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，分别互为有理化因式。例写出一个无理数，使它与3的积为有理数_；分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。二次根式的乘除1积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 =（a0，b0）2二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 （a0，b0） 3商
3、的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根=（a0，b0）4二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。=（a0，b0）二次根式的加减需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。二次根式的混合计算与求值1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律； 3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；根式比较大小1、根式变形法 当时，如果，则；如果，则。2、平方法 当时，如果，则；如果，则。3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小
4、来比较。4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：；8、求商比较法它运用如下性质：当a0，b0时，则：； 例比较大小：-3_-2 ；例已知a、b为两个连续整数，且ab，则a+b=_；二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。例下列各式一定不是二次根式的是（ ）A、 B、 C、 D、
5、例2.下列与是同类二次根式的是（ ）A B C D-11判断下列各式哪些是二次根式（）(1)；（2）写出下列各等式成立的条件（1）（2）（3）（4）（）例下列式子是最简二次根式的是（ ）A、 B、 C、 D、.下列根式中不是最简二次根式的是（ ）A B C D.如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么a的值是_；取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0时，没有意义。例若，则x的取值范围是当时，有意义。当时，若，则a应是（ ）A、负
6、数 B、正数 C、非零实数 D、有理数二次根式中，字母a的取值范围是（ ）A、a1 B、a1 C、a1 D、a1若使代数式有意义，则x的取值范围是（ ）A、x2 B、x2 C、x2 D、x4若化简1-x-的结果为2x-5，则x的取值范围是（ ）A、x为任意实数 B、1x4 C、x1 D、x4x为何值时，下列各式在实数范围内有意义（1）.二次根式中，字母a的取值范围是（ ）Aa1 Ba1 Ca1 Da1. 已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）A12 B11 C8 D3.使式子无意义的x取值的是_；二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式
7、（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。例若，则a=,b=若，则a=,b=.若 = 成立，则x满足_；.已知x、y是实数，且满足y= + +1（1）求x和y的值；（2）求的值。二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则例如，则；.已知一个正数的平方根是2x-6和x+3 ，则这个数是_；.把二次根式3中根号外的因数移到根号内，结果是
8、_；二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；例中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。如果，求y-2x的算术平方根。已知，求x的取值范围。. 若=3-b，则（ ）Ab3 Bb3 Cb3 Db3与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。
9、因而它的运算的结果是有差别的，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而例若a0，则化简为（ ）A、 B、- C、 D、-当时，二次根式的乘除法基础知识1. 计算：2. 3计算：_4. 使等式成立的条件是 。5. 当，时，。6、若=x，则x的取值范围是 。7化简二次根式得 （ ）A B C D308. 若，则（ ）A. B. C. D. 9下列名式中计算正确的是（ ）A. B.C. D.10. 若，则化简后为（ ）A. B. C. D. 11. 计算: （1） （2）3 （3） （4）12. 化简:（1） （2） （3） （4）能力提升14当a=时，则_15. 把的根号外的因
10、式移到根号内等于 。16已知x，则（）（A）x0 （B）x3 （C）x3（D）3x017. 和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定18. 计算:（1） （a0） （2） （x0，y0） （3） （x0，y0） 19. 化简:（1）（a0，b0）（2）（x0，y0）（3）（ab0） 能力拓展与探究20（2006安徽省）计算 2 -的结果是（ ）A. 1 B. -1 C- 7 D. 521(2007芜湖市)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为（ ）
11、A.cm B.4cm C.cm D.3cm 二次根式的加减基础知识1.把下列各式化成最简二次根式： (1)= (2)= (3)=(4)= (5)= (6)=2.判断正误：对的画“”，错的画“”.(1)； （ ）(2)； （ ）(3)； （ ）(4)； （ ）(5)； （ ）(6). （ ）3.计算：(1) = =(2) = = =(3) = = =(4) = = =基础知识1.填空： 二次根式加减法的法则是：二次根式加减时，可以先将二次根式化成 二次根式，再将 相同的二次根式进行合并.2.计算：(1) = = =(2) = = =3.计算： (1) = =(2) = = (3) = = (4) = =基础知识1.计算： = =2.计算： (1) = = (2) =
