最小作用量原理与相位

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1、最小作用量原理与相位注：为了方便不同层次读者，本文不强调积分概念，但严格说一些乘积(如vt, Lt)应该理解为积分。1.xx 力学经典力学中的牛顿力学，以牛顿的三个实验定律为基础和中心，建立实际 物理场景的数学模型之后，通过微积分等数学工具加以处理，以得到各种结 论。具体点说，我们首先通过牛顿第一定律建立了惯性的概念；其后，牛顿第 二定律在引入m表征惯性的基础上定义了力F,并指出了 F=ma的关系，形成了 自洽的理论体系。牛顿第三定律补充说明了自然界中力的性质，当然我们后来 发现,牛顿第三定律在很多情况下不适用,但因为牛一、牛二自成体系,即便 是牛三不成立的问题中也可以用来解决问题。对于要解决

2、的问题,往往在实际中可以分为两类：条件与力有关,而问题与运动有关；或者条件与运动有关,问题则与力有 关。前一种问题从牛顿力学的角度看是正问题,因为牛顿力学的基本精神就在 于：力的条件决定运动情况。后一种问题则是反问题,是要用运动情况反推出 作用的力。正问题有如下例子：1合外力为0。由于合外力为0,加速度为0,故而做运动中速度v保持不 变,即匀速直线运动。2质点在平衡位置附近，距离平衡位置x时，受力指向平衡位置，写为F=- kx。这种情况下，理论上可以证明物体运动xt关系为三角函数关系 x二Acos(wt+fi)，这种运动称为简谐振动，A称为振幅，w为圆频率，wt+fi称为相 位。3质点与某中心

3、相距r,则作用力F=k/rA2，方向沿质点与中心连线。当k0 时，表示力指向中心，这时这种力最典型的有球对称电荷、质量分布产生的静 电引力（库伦定律）或万有引力（万有引力定律）。这时根据质点能量不同, 轨道划分为 E0 双曲线。 k0 时,表示力背离中 心,典型的有静电斥力,质点轨道只能是双曲线。以上列出了三种常见的最简单的运动形式,实际上物理世界中有各种不同 的运动,也都可以从牛顿第二定律列出的方程出发加以解决。另一方面,以上 问题反过来问就成了反问题,反问题就有解是否唯一的疑问存在,即给定一种 运动形式,是否只有一种力的形式？一般来说这个问题没有确定的答案。对于 上面的三个问题，问题1显然

4、有唯一的力形式，即合外力F=0。而牛顿在其名著 自然哲学的数学原理中证明了问题三的力形式也是唯一的。那么问题2 呢？留作读者思考。上面我们回顾了牛顿力学的基本内容和方法，这套方法在拉普拉斯、泊松 和欧拉、高斯等大数学家的努力下发扬光大，一度统御着人类对大自然理解的 极限。然而，在这些数学家发展牛顿力学的形式结构时，却一不小心，遇到了一 个非常意外的发现。这最早要追溯到一位几乎和牛顿同时代的业余数学家 费马。费马这个人非常有趣，本身工作不是做数学或物理，而是一位法官。他 在法律界内有着刚正不阿的美名，却只是把数学作为业余无事时的一个嗜好。 但就是这样一个法律界人士，却成为了那个时代最伟大的数学家

5、之一，当然也 被称为业余数学家之王。我们知道，著名的费马大定理就是他提出的一个猜 想，这个猜想直到20世纪90年代才被普林斯顿数学家怀尔斯以复杂的数学工 具证明。但今天我们要说的不是费马大定理，而是他的另一个发现：最小光程原理，也就是 xx。2. xx先让我们回顾下基本的光学知识，我们知道光在均匀介质中走直线，而在 非均匀介质中可能走折线甚至曲线，这可以完全由折射定律（斯涅尔定律）决 定。也就是说，光线本质上是走直线的，而之所以不走直线是因为外界的某些 影响，而这些影响可以用折射与反射定律加以描述。具体来说，当光线射入一 个介质区域时，我们可以从光的初始入射方向出发，随着光的直线运动，直到 碰

6、到折射率不同的分界面，发生满足折射定律的折射，或者碰到反射面则反 射。这样我们可以跟随光线的运动，并预测光线方向的每一次转变。这种做法 和牛顿力学对于力学中物体运动的描述有异曲同工之妙。图 2 ，光线的折射我们还知道，两点之间线段最短。那么这两者会不会有什么深邃的联系 呢？均匀介质中，光的实际路程确实走了最短那条，那非均匀介质中的光线， 是不是也有某种最短的性质呢？如果是，这一定与折射率有关。沿着这条思 路，费马发现了一个堪称科学史上极具革命性的结论：任意介质中，给定两端点的光线，其“光程”永远取最小值。而所谓光程， 是一个新的概念，指折射率和光线实际长度的乘积。当折射率在空间不同区域 有所不

7、同时，不同区域内的光线也要相应乘上不同的折射率。当空间折射率连 续变化时，光线就要分成无数无穷小的线段，分别乘以所在处折射率并求和。 由于折射率和光速有关系c=nv，可以马上看出s=vt为光线在介质中走过的真实 距离，而光程ns=nvt=ct，和时间成正比，即是说：光程最短实际上就是时间最短。从这一原理出发，我们可以重新推出光的反射定律和折射定律。譬如对反 射定律，直接把两端点的其中一点关于反射界面对称过去，然后就容易找到两 点间最短的连线，即真实光线，容易看出满足反射定律。折射定律的导出留给 读着思考。图 1，反射定律的导出这个原理之所以说革命性，是因为他从根本上与基于折射定律和反射定律 的

8、几何光学走了相反的一条道路。在几何光学中，如果我们要研究光线的形 状，就要从一个时刻出发，跟随光线运动并令光线在每个介质不均匀处依据折 射定律或反射定律改变初始光线的方向，最终我们将得到一条符合实际的光 线。但费马原理则反过来给出过两固定点的光线应该有什么宏观特征，再从这 个特征出发，从各种不同可能的路径中筛选出真实光线的轨迹。这不仅仅是方 法上的不同，更是观念的一次洗礼。事实证明费马原理背后的意义远大于其在光学上的应用。一次，著名数学 家约翰。伯努利提了一个非常有趣的问题，即在地球重力场下，给定初末两点 （不在一条铅垂线上），问沿怎样的轨道下滑最快？初看似乎直线最快，但很 容易发现先从较高点

9、自由下落到较低点同样高度的平面，再不变速地转向（可 以利用一段圆弧轨道）平行移动到较低点将跟省时。实际上容易构造出更加省时的方案，但是哪种方案最省时呢？伯努利把这 个问题公布出来，以挑战当时在世的所有数学家，包括伟大的牛顿和他的哥哥 雅克布。伯努利。据说当时已经是造币局局长的牛顿在看到这个问题后，一下 就被吸引了过来，从傍晚开始一直算到凌晨两点终于解决。而雅克布。伯努利 更是发展了一套完整的方法求解这条轨迹，为今后一个繁荣的数学分支：变分法奠定了基础。但是不管是谁，在看到约翰本人的解法后都自愧不 如。约翰的解法以费马原理为基础，相当巧妙。他在空间中用折射率分布代替 重力场，使得不同高度处有不同

10、的折射率。由于折射率和光速的关系，则不同 高度光线有着不同的速度，约翰让这些速度正好等于重力场中相应高度的质点 具有的速度，就可以用用时最短的光线来确定用时最短的下滑路径了。这一方 法完整的解决了这个难题，答案是滚轮线。其实从一系列不同的轨迹中，寻找具有某种极大或极小性质的曲线，一直 以来是数学家乐于思考的一个问题。古希腊数学家研究过怎样的闭合曲线，其 围绕面积最大，发现是圆；费曼原理也需要求解给定初末端点，求解光程最短 的曲线。随着伯努利问题的提出，现在这样的问题和物理学中的力学似乎又产 生了千丝万缕的联系，就更让人遐想连篇。基于折射、反射定律的几何光学有 着与牛顿力学类似的基本思想和处理问

11、题的基本方略，那么有没有可能找到一 个类似费马原理的普适原理，为物体的运动轨迹也找到某种量取最小的判断标 准？随着微积分的发现，人们发现雅克布。伯努利解决上面那道难题的方法很 容易推广到解决各类寻找极大、极小值曲线的难题。这套方法被数学家冠以变 分法之名，开始广为流传。数学方法的发展和普及反过来影响着物理学发展的 进程，这是亘古不移之理。18 世纪，数学家开始用手头的工具打造这样一套基 于变分法的物理学。3. 最小作用量原理最小作用量原理，顾名思义，就是说给定运动的初末时间、位置，真实运 动取作用量最小的曲线。最小作用量原理最早应该追溯到与费马、牛顿等人同 时代的大学者莱布尼兹，后来由欧拉、莫

12、陪督、拉格朗日等人发展完善。 1744，数学家莫陪督首先提出了这一思想。他认为对于给定了运动能量E、初末位置和时刻后，物体在整个过程中的动能与时间的乘积的两倍 (2Ek*t)取最小。动能与时间的乘积是一个看起来有些奇怪的量，但是似乎又 表明了物体轨迹的某种整体性质，于是被莫陪督称为作用量,记为 S。上面莫陪督原理是在所有能量为E的轨迹中选取，更一般的做法是取所有 不同的轨迹。，那就是：在给定初末时刻和初末位置后，拉格朗日量L和时间的乘积(作用量 S=Lt)最小的路径为真实路径。其中拉格朗日量L=Ek-V，即动能和势能的差。容 易看出，只取Ek+V=E的轨迹时，始终有V=E-Ek,于是L=2Ek

13、-E，由于所有不同的 轨迹有着一致的E，所以真实路径就是2Ek最小的路径。对于多粒子系统，则要 用总动能减去总势能。譬如对刚体，就要用刚体平动动能加上转动动能再减去 刚体系统总势能。随后，拉格朗日从最小作用量原理出发、依靠变分法推导出了牛顿第二定 律，并从牛顿第二定律反推出最小作用量原理，这就从数学上严格证明了最小 作用量原理和牛顿力学的等价。这样，宏大巍峨的牛顿力学大厦，就这样被归结到一个简单的原理，这不 能不说是物理学史上神妙惊人的一笔。而同时很多目的论者也开始鼓吹：最小作用量原理体现了上帝意志云云。实际上从数学上来说，微分方程求 解轨迹问题总是可以转化为从一系列轨迹中选取一条具有某种极大

14、、极小性质 的真实轨迹的变分问题。所以并不能说最小作用量原理的存在就一定体现了某 种超自然力量或是自然界的根本性质。但最小作用量原理确实在物理学上发挥 起了重要的作用，这无关神秘主义，而是其数学形式(某量取最小值)所带来 的巨大便利。随着数学家们的努力，建立在最小作用量原理上的分析力学渐渐完善了起 来。拉格朗日首先通过最小作用量原理推导出了一般性的刚体和约束系统中， 如何通过最小作用量原理导出和牛顿运动定律等价的方程组拉格朗日方程 组；后来，哈密顿通过变量替换，得到了另一个等价方程组哈密顿方程 组；而另一种更加抽象的、也是来自于变量替换思想的哈密顿-雅克比形式也建 立了起来，其基本想法是从最小

15、作用量原理出发，得到作用量函数S满足的方 程，再从S出发得到体系的状态和演化规律。这里的作用量函数S(q,t)，定义从 某初始点q0,t0出发到达q,t的真实轨迹的作用量。最小作用量原理最大的好处在于普遍性，不管描述体系的参量是什么参 量，都可以纳入最小作用量原理的形式。力学中，如果我们考虑的不是只用位 置等有限参量就可以描述的质点和刚体，而是刚体甚至弹性体、流体，只要我 们能找到描述其状态的方法(比如弹性体的形变大小和流体不同点的速度分 布)，就可以想方设法引入拉格朗日量，并用最小作用量原理表述体系的物理 规律。又比如真空中的电磁场，引力场乃至强、弱相互作用场，其体系的演化 规律都可以用最小

16、作用量原理表示，只不过描述系统状态的量为每一点的场强 或势。最小作用量原理的另一个好处在于易于表现系统对称性。现代数学物理学 中，对称性被定义为体系经过某种操作而在我们所关注的方面不发生变化的性 质。比如常说的人的左右对称性，即是交换左右部分人的外观不发生变化(内 脏位置显然变了)。下面列出了几个常见的对称性：1. 空间平移对称性：系统空间坐标平移一个矢量，即 x-x+a,y-y+b,z-z+c 的操作，不改变系统 的任意状态。换句话说，系统中坐标为(x,y,z)处的物理状态和(x+a,y+b,z+c)处的物 理状态完全一样，因此系统在平移后和原先重合。2. 空间反演对称性：系统空间坐标全部反号，即 x-x,y-y,z-z 的操作，不改变系统的任意状 态。这意味着系统原本（x,y,z）处物理状态和（-x,-y,-z