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1、“体积与容积”概念建立的教材对比与思考【内容摘要】“体积与容积”是小学数学图形与几何领域的重要基础性概念。新课标下的部分主流版本教材（人教版、北师大版、苏教版、浙教版）分别是如何选择学习素材？如何安排学生的概念建立过程？文章从属性抽取、原型提取、素材选择、概念表述、实验设计、练习安排等维度进行了对比分析。基于分析阐述了体积教学是基础、本质属性是核心、经验积累为追求的教学设计认识。【关键词】体积；容积；教材；概念 “体积与容积”是小学数学图形与几何领域的重要基础性概念。辞海中对两个概念的定义分别为，“体积”指物质或物体所占空间的大小，“容积”指容器所能容纳物体的体积。可以看出，两个概念的内涵核心
2、是“所占空间的大小”，建立“空间大小”观念是理解这两个概念的关键。体积是指物体占三维空间的大小，容积则是物体三维空间内部的局部空间大小。说明容积包含于体积内涵之中，体积概念是容积概念建立的基础。但，二者又有些许不同，容积是刻画容器所能容纳物体的空间大小，是用等量填充物体积表示容器内部空间大小。所以，体积概念建立重心在空间大小观念形成，容积概念建立重心在所容纳物体体积与容器内部空间大小的等量观形成。由此可见，这两个概念在教学意义是处于不同维度的。为此，教材编排中就形成了两种学习序列，一种序列是体积与容积同时学习，再学习体积（容积）单位及长方体体积计算，如北师大版、苏教版教材。另一种是体积概念先学
3、，在完成长方体体积计算，体积单位学习后再认识容积，如人教版、浙教版，北京版等。当然，两种学习序列存在说明大家对这两个概念建立过程有不同理解，自然也有其各自科学合理之处。但目标是一致，那就是怎样突显“空间大小”这个本质，帮助学生有效的建立概念？在这个核心问题上各版本教材分别是如何体现与落实的。个人以人教版、北师大版、苏教版、浙教版四个版本教材为例，进行了对比分析。一、属性抽取对比分析数学教育心理学告诉我们，概念形成是数学概念建立的主要方式之一。概念形成主要经历“辨别刺激模式、分化属性，概括共同属性，确认关键属性，形成概念，符号表述，归类整理”等过程。对学生来讲“体积”是一个全新概念，建立这个概念
4、主要是用概念形成方式。需要经历较复杂的过程，首先要让学生获得充分的典型事物刺激，再明确“占空间大小”这一关键属性，最后用“体积”这一文字符号表示。实现与其他有关“大小”概念的区分，改造已有的“位置大小”“范围大小”等概念，建立数学意义上的体积概念。四个版本教材在体积概念的属性抽取上，呈现了两种路径，一种路径是“实验活动中引出空间大小实例比较判断空间大小概括总结呈现体积概念内容”，人教版、苏教版、浙教版均是这种路径；另一种路径是“实践活动引出空间大小概括总结呈现体积概念内容”，北师大版是这种路径。两种路径相差“实例比较判断空间大小”这个板块。第一种路径的三个版本教材十分细致的设计了这块内容。（见
5、下图1、2、3） 图2：苏教版教材图1：浙教版教材图3：人教版教材在实验活动中引出“占空间大小”这个属性后，为了强化对“空间大小”这个属性的认识，这三个版本教材马上安排了判断，并且在题目问题中标明“占的空间大”这些文字符号，显然这是及时的强化，有利于学生快速接纳这个新观念，为归纳概念做铺垫。图4：北师大版教材但北师大版教材在实验中引出“占空间大小”后，就直接出示了体积概念，没有安排学生在具体情境对属性进行更充分的感知，显然这个过程显得仓促，学生对“占空间大小”这一属性的认识是肤浅的，不深刻的，不利于体积概念的真正形成。二、原型提取对比分析生活原型是数学概念建立的重要基础，也是学生理解概念意义的
6、主要承载体。体积所表示物体占空间大小这一本质，支撑的生活经验主要是“苹果大一些”“这个西瓜大一些”“太挤了”“位置不够了”等，这些夹杂着重量、面积、长度等属性特征的“大小”感，其中依托视觉感官，形成的对物体外形大小直观感知经验是体积概念建立的关键经验，每个孩子头脑中的具像到一个物体的外形大小印象，是体积概念的生活原型。所以，教材需要直接刺激学生，让学生主动提取生活原型。当然，这里最难的是让学生明确的感知到“空间”的存在及物体对空间有不同占有度（占空间大小）。解决这个难题最好的办法还是要靠视觉感官。为此，四个版本教材也出现了两种思路，一种是组织观察实验，借助水位变化让学生感知空间存在及大小度，人
7、教版、苏教版、浙教版是这个思路；另一种是物体大小比较中，明确空间大小，北师大版教材是这个思路。如下图。（苏教版教材）（浙教版教材）（北师大版教材）（人教版教材）第一种思路三个版本教材都设置了一个完全类似的实验活动一个物体放入有水的玻璃杯中，观察水平上升变化情况。玻璃杯中水的空间被石块（桃子）占领，水位就上升了。这个动态直观实验完全激活了学生对物体占一定空间的经验，并且在简短的互动中主动的用“空间”这个属性描述取代生活中“位置”“地方”等描述。同时，强烈的视觉冲击让原本空洞的“空间”形象化了。这个情境内容很好的解决了“占空间”这个核心观念改造。相比下，第二种思路也就是北师大版的两个活动“说生活中
8、物体的大小关系”“实验观察，比较两个物体的大小关系”，把重心落在了“大小”这个核心点，强化了物体占空间有大小这个属性。但，两个比较活动情境决定学生关注点是大小对比上，孩子对物体“占空间”这个观念的建立是缺乏引导力的。“占空间的大小”这个本质属性是空间观与大小度的二合一，四个版本教材都选择了观察实验，借助视觉冲击唤醒学生的经验。但学生的生活原型首先要服务于空间观的建立。所以，选择单个物体进行实验，更有利于学生集中注意力，感受物体占空间的属性。三、素材选择对比分析概念建立需要丰富的表象支撑，表象的丰富性取决于学习素材的代表性与丰富性。四个版本教材除了在原型提取上所设置的活动内容有差别外，直接提供学
9、生积累的形象化素材数量与价值定位也存在一些差异。 教材体积容积图片数量/张具体内容图片数量/张具体内容人教版5乌鸦喝水图片、石头实验图、电视机、影碟机、手机图3饮料瓶浙教版8石头实验图片组、立方体搭长方体、手提电脑、电脑主机、纸箱10纸箱、油筒、水桶、纯净水桶、汽车、饮料盒、药瓶北师大版2土豆、红薯图（练习中出现小立方体拼成长方体）1烧杯苏教版6桃子、荔枝、小西红柿、实验图片4书盒、水杯、石头、水杯、盒子从表中可以直观看出，北师大版教材提供的素材最简单，其他三个版本相对来讲比较丰富些，这符合文章第一点分析中谈到的属性抽取的两种路径设计思路。所以，人教版与浙教版教材，在体积认识时除实验图片外，还
10、专门提供了电脑、纸箱、手机等生活实物图片，素材比较丰富，主要是为了给学生充分的感知与抽象时空。但，另外两个维度上所体现出的素材安排差别值得关注。第一，单纯从容积这个点看，四个版本的素材又呈现两种新的模式，一种是只有半封闭容器（烧杯），北师大版教材是这样的；另一种是封闭或半封闭式容器都有，其它三个版本是这样的。这个安排，显然其它三个版本更适宜些，因为容器包括封闭与半封闭两种类别，从教学角度讲需要提供给学生比较全面的素材。特别是箱子、盒子这类装固体的容器需要及时帮助学生突破定势，完善认识。第二，小立方体拼成的立体图形呈现情况有所不同。浙教版在概念揭示前安排了立方体拼成立体图形体积判断。北师大版在练
11、习中安排了类似练习。立方体拼成的立体图形所占空间大小判断，是直接计算法判断体积的策略体现，同时这也是后面学习体积单位的积极渗透。这块内容对拓展学生比较两个立体图形体积的方法有十分重要的意义，特别是对实验法定势的突破作用更大。四、概念表述对比分析体积与容积概念的表述方式上，体积概念表述四个版本教材完全一致，为“物体所占空间的大小叫做物体的体积”，只是北师大版教材“叫做”用了“叫作”这个词。容积概念表述呈现两种方式：一种方式是“容器所能容纳物体的体积，叫做（作）容器的容积”，北师大版、苏教版教材这样表述；另一种方式是“箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积”，人教版、浙教版是这样
12、表述的。可以看出两种方式对容积概念的核心把握是完全一致的“所能容纳物体的体积”，差别是对“容器”这个概念使用，人教版、浙教版回避了这个术语，直接用一些容器实物箱子、油桶、仓库等来代表。个人感觉用例举表达的方式比较切合小学生年龄特征，特别是日常生活中形成了脸盆、水桶等这类装液体、半封闭容器为主的定势下，例举了“”箱子、仓库等这类装固体、全封闭容器，有利于学生主动调整对容器概念的认识。五、实验设计对比分析（浙教版教材）观察实验是体积概念建立过程必不可少的活动。因为借助透明玻璃杯和水位变化，可以在一定程度上将抽象的空间形象化，能帮助学生提升对“物体占空间大小”的感悟。四个版本教材在实验活动安排上都有
13、充分的体现，但实验活动设计却有明显的差异。（见下图）（北师大版教材）（人教版教材）（苏教版教材）1.实验目标定位不同人教版、浙教版、苏教版三个版本都设计了一个物体放入玻璃杯中观察水平变化的实验。这个实验的目的是引导学生充分感知空间的存在及物体占一定空间，也就是首先帮助学生建立“空间观”。特别是人教版，观察实验前先安排了乌鸦喝水实验的回忆，这个内容看似激趣，实则是让学生初步建立“物体占空间”这一观念，再加之后续的直接观察实验，能强化空间观形成。北师大版教材没有安排单个物体实验活动，直接设计了比较两个物体大小实验。这个实验显然重心在体验物体占空间大小，也就是建立空间大小观。2. 对用实验法比较物体
14、大小的认识完全不同对用实验法比较两个物体体积这个实验，四个版本呈现了完全不同的两种认识：人教版、浙教版没有安排这个实验，北师大版、苏教版专门设计了这个实验。这个实验的核心价值是一种转化策略体验，把原本直接比较空间大小有困难的问题，转化为比较水所占空间大小。同时，实验中水位的高低变化对比，让学生有一个直观的大小判断标准，能加强学生对空间大小的认识。所以，个人认为这个实验是一个很有价值的活动，在一个物体的实验中积累了有关物体占空间的观念后，两个物体占空间大小比较实验让学生明确感受到了物体占空间的大小，突破了体积概念中“大小”这个难点，也收获了一种比较方法。六、练习安排对比分析人教版、浙教版在体积概
15、念出示后没有安排针对概念建立的练习，而是结合体积单位知识安排了说长方体的体积。北师大版、苏教版因为在体积与容积概念学习后，没安排体积单位学习，所以有专门的概念练习。（见下图）（人教版教材）（浙教版教材）（北师大版教材）（苏教版教材）苏教版练习第一题延续教材新知探索阶段实验设计思想，不仅让学生直观判断两个物体体积情况，还想象思考溢出的水量情况。这个设计又一次让学生加深了比较策略的认识，同时在转化中发展空间观念。第二题让学生直接依据杯子个数判断容积，强化了学生的容积概念理解。北师大版教材练习第1、2题主要渗透等积变形的思想，让学生深刻的体会到组成物体的物质及标准数量不变，体积不会因形状而变化。第3题主要强化容积因容器不同而不同的认识。从中可看出苏教版与北师大版练习设计各有特色，北师大版重在等积变化与标准化数量比较方法渗透，苏教版重在容积概念的巩固。个人感觉标准化测量与等积变形是提升学生对体积与容积理解的必需内容，北师大版的练习更适宜些。综合四个版本教材在体积与容积内容设计上的优势与不足，个人感觉体积与容积教学不论是哪种学习序列，都应该关注如下几个方面。1. 以体积概念建立为基础，安排适宜学习序列从分析中可
