律制详解五度相生律十二平均律纯律

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1、律制详解 （五度相生律、十二平均律、纯律 ）音律是指音高的决定方式。现代乐器的音律主要有三种：（1）纯律：纯律中任何两个音的频率都成整数比，这种音律源于号角，因为 它可以吹出大调音阶中的三和弦 （简谱中的 1 3 5） ，它们的频率之比为 4:5:6 。大 调音阶中的其它三和弦也可以用这种方法得到，例如简谱中的4 6 1 和 5 7 2 。这种音律在演奏和声时很有优势， 因为频率的整数比可以产生最好的结合。 铜管 乐器指法不变时遵循纯律， 所以在演奏和声时， 要尽可能地使用同样的指法。 由 于小调以小三和弦为主 （简谱中的 6 1 3），所以频率之比正好与大调相反，为 1/6:1/5:1/4

2、，即 10:12:15 ，然而没有一种乐器是按照这种音律定音的。（2）五度相生律：事实上它是纯律的一部分，它规定五度音的频率之比为 2:3，其他音程都由若干个五度产生，五声音阶宫商角徵羽 （简谱中的 1 2 3 5 6） 按照五度相生律定音，顺序是：宫 T徵T商T羽T角。实践表明，按照五度相生 律的音高演奏的旋律是最优美的，弦乐器就是典型的按照五度相生律定音的乐 器。五度相生律根据复合音的第二分音和第三分音的纯五度关系， 即由某一音开 始向上推一纯五度，产生次一律，再由次一律向上推一纯五度，产生再次一律， 如此继续相生年定出的音律叫做五度， 产生再次一律， 如此继续相生所定出的音 律叫做五度相

3、生律。 例如五度相生律所订出的七个基本音级间的音高关系，和 十二平均律中七个基本音级的音高关系是不同的。虽然 EF 、BC 之间亦为半音，但比十二平均律中的半音要小。其余相邻两 音级之间虽然亦为全音， 但比十二平均律中的全音要大。 这种音高的差异就是由 于定律方法的不同而产生的。(3) 十二平均律：简称平均律，它是根据对数关系确定音的频率的，然而在 八度上，频率的比值却是严格的 1:2 ，所以更完整的说法应该是 “ 八度的十二平 均律”。计算频率时，只要对 2开12 次方根，就可以确定两个半音频率的比值 了。十二平均律是由巴赫首先倡导在钢琴上使用的， 钢琴上每个半音具有同等地 位，因此这种音律

4、在转调频繁的作品中很有优势。十二平均律是由明朝律學家朱載堉所提出， 早於西方五百年出現。 他將三分 損益法所產生的五度相生律無法還原的問題解決了， 其實五度相生律是純律的物 理和諧倍數關係，每個調性都會衍生不同的頻率差異音階，為了轉調的實用性， 平均律的出現雖然解決了轉調問題，卻也產生另一個和音不夠完美的問題。十二平均律將八度間(倍頻) ，刻劃成平均的十二個音階，以 12 根號 2 為基數(1.059463094)為音階間格，這樣完整的十二個平均音階就可以讓12個調 性圓滿轉換， 每個音階都可以吻合應用， 鋼琴是十二平均律的典型樂器， 西洋音 樂之父巴哈就以此十二平均律編寫了十二種調性的古典樂

5、曲， 為十二平均律完整 樂曲之始。一般认为，没有受过音乐训练的人，无法辨别 20 音分以内的音调差别，而 对音准非常敏感的人， 例如小提琴家或钢琴调音师， 可以辨别 5 音分以内的音差。 表 5-2 就以音分为单位比较了三种音律的差别，归纳起来有以下两点：(1) 纯律的五度音和五度相生律是一样的，但三度音差别很大，大三度音程 偏小，小三度音程偏大， 即大调的第三级音明显偏低， 这种现象在铜管乐器上很 突出 (详见第七章 )(2) 五度相生律和十二平均律差别不大， 就全音而言，前者比后者多 4 音分， 就半音而言，前者比后者少 10 音分，这就是五度相生律所谓的 “大全音 ”和“小 半音”。对人

6、的听觉来说，小半音是最舒适的半音， 而平均律的半音略显得大些， 这是平均律唯一的缺陷。要介绍十二平均律曲集 ，就得先介绍什么是 “十二平均律 ”。而要介绍 “十二平均律 ” ，就得先介绍什么是 “律”。“律”，即“音律” (intonation ),指为了使音乐规范化，人们有意选择的 一组高低不同的音符所组成的体系， 以及这些音符之间的相互关系。 比如大家都 知道的do、re、mi、fa、so、la、si，这7个音符就组成了一组音律。研究音律 的学问叫做“律学”。也就是研究为什么要选择 do、re、mi这7个音(当然也可以选择其它音) 作为规范、 这些被当成 “标尺”的音是怎么产生的、 以及

7、它们之间到底是什么关系的学问。对于任何民族来说， 只要他们有着丰富的音乐体验， 只要他们想积累起关于 音乐的知识，迟早都会遇到关于律学的问题。令人惊讶的是，古今不同民族，虽 然各自钟爱的音乐形式可谓万紫千红、 百花争艳， 彼此也没有互相借鉴， 但大家 的律学的基础概念却出奇地相似。 这也许是音乐本身超文化、 超地域的魅力所致 吧。(BTW:现代人学习的do、re、mi、fa、so、la、si，这些好像没有意义的 单词，其实都是中世纪时西方教会中很流行的一些拉丁文圣咏( cha nt)的首音 节。这些圣咏是西方现代音乐的源头。 )学过高中物理的都知道， 声音的本质是空气的振动。 而空气的振动是以

8、波的 形式传播的，也就是所谓的声波。所有的波（包括声波、电磁波等等）都有三个 最本质的特性：频率波长、振幅、相位。对于声音来说，声波的频率（声学中 一般不考虑波长） 决定了这个声音有多 “ 高”，声波的振幅决定了这个声音有多 “ 响”，而人耳对于声波的相位不敏感， 所以研究音乐时一般不考虑声波的相位 问题。律学当然不考虑声音有多 “ 响”，所以律学研究的重点就是声波的频率。 一 般来说，人耳能听到的声波频率范围是 20HZ （每秒振动20次）到20000HZ （每 秒振动 20000 次）之间。声波的频率越大（每秒振动的次数越多） ，听起来就越 “高”。频率低于 20HZ 的叫“次声波”，高于

9、 20000HZ 的叫“超声波”。（BTW:人耳能分辨的最小频率差是2HZ。举例而言就是，人能听出100HZ和 102HZ 的声音是不同的，但听不出 100HZ 和 101HZ 的声音有什么不同。另 外，人耳在高音区的分辨能力迅速下降，原因见后。 ）需要特别指出的是， 人耳对于声波的频率是指数敏感的。 打比方说， 100HZ、 200HZ、300HZ、400HZ这些声音，人听起来并不觉得它们是 “等距离” 的, 而是觉得越到后面，各个音之间的 “距离” 越近。 100HZ、200HZ、400HZ、 800HZ这些声音，人听起来才觉得是“等距离”的（为什么会这样我也不清 楚）。换句话说，某一组声

10、音，如果它们的频率是严格地按照x 1、X 2、X 4、X 8，即按2n的规律排列的话，它们听起来才是一个（比如这里有16个音，它们的频率分别是110HZ的1倍、2倍、3倍16 倍。大家可以听一下， 感觉它们是不是音越高就 “距离”越近。用音乐术语来说，这些音都是110HZ的“谐波” （harmonics ）,即这些声波的频率都是某一个频 率的整数倍。这个ogg文件可以用“暴风影音” /StormCodec软件来试听。）由于人耳对于频率的指数敏感，上面提到的“X2就意味着等距离”的关系 是音乐中最基本的关系。用音乐术语来说，X 2就是一个“八度音程”（octave ）。 前面提到的do、re、m

11、i中的do，以及so、la、si后面的那个高音do，这两个 do 之间就是八度音程的关系。 也就是说， 高音 do 的频率是 do 的两倍。 同样的， re 和高音 re 之间也是八度音程的关系，高音 re 的频率是 re 的两倍。而高音 do 上面的那个更高音的do，其频率就是do的4倍。也可以说，它们之间隔了两个 “八度音程” 。显然，一个音的所有“八度音程”都是它的“谐波” ，但不是它 的所有“谐波” 都是自己的 “八度音程”。很自然，用do、re、mi写的歌，如果换用高音do、高音re、高音mi来写， 听众只会觉得音变高了， 旋律本身不会有变化。 这种等效性， 其实就是“等差音 高序列

12、 ” 的直接结果。“八度音程 ”的重要性，世界各地的人们都发现了。 比如我国浙江的河姆渡 遗址，曾经出土了一管距今 9000 年的笛子（是用鹤的腿骨做的） ，它能演奏 8 个音符，其中就包含了一个八度音程。当然这个八度音程不会是 do 到高音 do， 因为只要是一个音的频率是另一个的两倍， 它们就是八度音程的关系， 和具体某 一个音有多高没有关系。明白了八度音程的重要性， 下面来介绍在一个八度音程之内， 还有那些音是 重要的。这其实是律学的中心问题。也就是说，如果某一个音的频率是 F，那么 我们要寻找 F 和 2F 之间还有那些重要的频率。如果大家有学习弦乐器（比如吉它、古琴、小提琴）的经验的

13、话，都明白它 们能发声是因为琴弦的振动。 而琴弦的振动是和琴弦的长度有关系的。 如果在一 根弦振动的时候，用手指按住弦的中点，即让原来全部振动的弦，变成两根以 1/2 长度振动的弦，我们会听到一个比较高的音。这个音和原来的音之间就是八 度音程的关系。因为在物理上，弦的振动频率和其长度是成反比的。由于弦乐器是世界各地发展得最早的乐器种类之一， 所以这种现象古人早已 熟悉。他们自然会想： 如果八度音程的 2:1 的关系在弦乐器上用这么简单一按中 点的方式就能实现， 那么试试按其它的位置会怎么样呢？数学上 2:1 是最简单的 比例关系了，简单性仅次于它的就是 3:1。那么，我们如果按住弦的 1/3

14、点，会 怎么样呢？其结果是弦发出了两个高一些的音。 一个音的频率是原来的 3 倍（因 为弦长变成了原来的 1/3 ），另一个音是原来的 3/2 倍（因为弦长变成了原来的 2/3 ）。这两个音彼此也是八度音程的关系 （因为它们彼此的弦长比是 2:1 ）。这样， 在我们要寻找的F2F的范围内，出现了第一个重要的频率，即3/2F。（那个3F的频率正好处于下一个八度，即 2F4F中的同样位置。）接着再试，数学上简单性仅次于 3:1 的是 4:1，我们试试按弦的 1/4 点会怎 样？又出现了两个音。 一个音的频率是原来的 4倍（因为弦长变成了原来的 1/4）， 这和原来的音（术语叫 “主音”）是两个八度

15、音程的关系，可以不去管它。另一 个音的频率是主音的 4/3 倍（因为弦长是原来的 3/4 ）。现在我们又得到了一个重 要的频率， 4/3F。同一根弦，在不同的情况下振动，可以发出很多频率的声音。在听觉上，与主音F最和谐的就是3/2F和4/3F （除了主音的各个八度之外）。这个现象也被很多民族分别发现了。 比如最早从数学上研究弦的振动问题的古希腊哲学家毕达 哥拉斯（Pythagoras ,约公元前6世纪）。我国先秦时期的管子地员篇、吕 氏春秋音律篇也记载了所谓“三分损益律”。具体说来是取一段弦，“三分 损一”，即均分弦为三段，舍一留二，便得到 3/2F。如果“三分益一”，即弦 均分三段后再加一段

16、，便得到 4/3F。得到这两个频率之后， 是否继续找 1/5 点、 1/6 点等等继续试下去呢？不行，因为听觉上这些音与主音的和谐程度远不及 3/2F、4/3F。实际上4/3F已经比3/2F 的和谐程度要低不少了。古人于是换了一种方法。与主音 F 最和谐的 3/2F 已经 找到了，他们转而找3/2F的3/2F，即与最和谐的那个音最和谐的音，这样就得 到了（ 3/2）2F即9/4F。可是这已经超出了 2F的范围，进入了下一个八度。没 关系，不是有 “等差音高序列 ”吗？在下一个八度中的音， 在这一个八度中当然 有与它等价的一个音，于是把 9/4F 的频率减半，便得到了 9/8F。接着把这个过程循环一遍，找 3/2 的 3 次方，于是就有了 27/8F ，这也在下 一个八度中，再次频率减半，得到了 27/16F 。就这样一直循环找下去吗？不行， 因为这样循环下去会没完没了的。 我