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1、立体几何复习专题一、考情分析综观近年高考对立体几何的考查,主要体现了三个特点：1.以选择、填空考查基础知识，如线面关系的判断、体积与面积的计算等，难度中等偏易,分值10分左右;.以解答题的形式考查综合问题，如空间平行与垂直的论证，空间角和距离的求解等,分值为2分;3无论是大题还是小题，其载体多为棱柱、棱锥、球组合而成的多面体，问题的情境为动态或静态的,背景为综合或交叉的，解题方法是多样化的，重视了传统方法和向量方法的有机结合，相得益彰二、考题精讲考点1 直线与平面该问题主要考查空间中的线线、线面、面面之间的位置关系的判断与证明,以及空间想象能力.例1设直线与平面相交但不垂直,则下列说法中正确的
2、是（ )A.在平面内有且只有一条直线与直线垂直B.过直线有且只有一个平面与平面垂直C.与直线垂直的直线不可能与平面平行D与直线平行的平面不可能与平面垂直解:在这里我们通过观察正方体ACD-BC1D1进行判断,取BC1为直线,平面ABD为平面,由A、CD均与垂直知选项A错；由1C与垂直且与平行知选项C错；由平面DD1A1与平行且与垂直知选项D错,故选.点评:在解本题时,我们通过借助具体的几何模型进行直观的思考，对于假命题举出反例即可,避免了抽象的空间现象与推理.考点简单几何体该问题主要涉及到简单几何体的性质以及其面积与体积的求法（包括球的性质、球的面积与体积、球面距离等).例 若三棱柱的一个侧面
3、是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形,则该棱柱的体积等于( B ) D解：如图在三棱柱中,设,由条件有，作于点，则, ,，故选.点评：本题具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准确应用是解决此题的关键.考点 空间距离与角该问题主要考查三类角（线线角、线面角、二面角）,五种距离(点线距、点面距、线面距、线线距、面面距）,有关立体几何的解答题中都有此部分的内容例 如图，为平面,A5，A、B在棱L上的射影分别为A、B,AA=3，BB的大小为,求：点B到平面的距离;异面直线与A所成的角(用反三角函数表示）.ABL解：如图,过点B作直线CAA且使BA
4、.过点B作BCB，交C的延长线于.AL，DL,又L,平面BD，BDL.又BB,D平面，D的长即为点B到平面的距离BCL且BL，BC为二面角的平面角，BBC.在tBB中，=2,BBD=-BBC=,BDBBnBBD=ABLCD连接A、C.BC，A,AAL,AB为矩形，ACL,BA或其补角为异面直线与BBC中,B=2,BC=，B=，由余弦定理,BC=.因D平面，且DCA，由三垂线定理得AC，在ABC中,BA=,iBAC异面直线L与AB所成的角为arcsin.点评：本题考查了立几中的点面距、线线角、二面角等知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力,解题的关键是线面平行、三垂线定理等基础知识的运用
5、.考点 立体几何综合问题此类问题常以某种几何图形为载体，考查点、线、面的位置关系，求角和距离，求体积、面积和探究有关量的定值、最值问题等.ABCDEFPQHG例5如图,在棱长为的正方体中，AP=Q=b(0），截面QE，截面QG证明：平面PQE和平面PQG互相垂直;证明：截面PQEF和截面PH面积之和是定值,并求出这个值；若，求与平面QF所成角的正弦值解：以为原点，射线DA,DC,DD分别为x,y,z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D-z由已知得,故, ，,ABCDEFPQHyxzG在所建立的坐标系中，可得，,，是平面PQEF的法向量.,是平面H的法向量，,平面PE和平面PGH互相垂直.,又，
6、QEF为矩形,同理PQG为矩形.在所建立的坐标系中可求得，又，截面PQF和截面PQGH面积之和为,是定值由知是平面的法向量.由为中点可知，分别为，,的中点.,因此与平面所成角的正弦值等于.点评：本题可用传统的立体几何演绎法求解,但本解运用了空间向量法，使问题更易解决,解题时要注意选择适当的方法.三、考题速解例 如图，到的距离分别是和,与所成的角分别是和,在内的射影分别是和，若,则（ ）ABablA. B C 解:由勾股定理,又,.由于，,而，所以,得，故选D.点评：将点、线、面的特殊位置关系集中到直角三角形中,问题便看迎刃而解!例 如图,动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，与正方体表
7、面相交于设，,则函数的图象大致是（ ）ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO解:连结AC、A1C1则MNA,当且仅当P为D的中点时，MNAC取得最大值，故选项A、C错，令Q为B中点,又当P为B中点时,MN=AC,故选项错,所以选B.点评：本题是一道动态立体几何问题,抓住变化中的不变量，发现特殊中点Q排除选项.四、考题预测预计11年立体几何在高考中仍将重点考查空间线、面关系的判定，空间角与距离的计算,球面距离及多面体外接球面积、体积的计算，立体几何与其他知识综合交汇性问题等.例1如图,在正方体中,给出下列四个命题:点在直线上运动时,三棱锥的体积不变；点在直线上运动时，直线
8、与平面所成角的大小不变;点在直线上运动时，二面角的大小不变；点是平面上到点和距离相等的点,则点的轨迹是过点的直线.其中真命题的编号是_.（写出所有真命题的编号)解：平面，当点在直线上运动时,点到平面的距离不变,三棱锥的体积不变,所以命题正确；当点在直线上运动时,点到平面的距离不变，但的长度变化,直线与平面所成的角的大小变化,所以命题不正确；当点在直线上运动时，点到平面的距离不变且点到直线的距离也不变,二面角的大小不变,所以命题正确;点到点和点的距离相等，和在平面上的射影也相等，点在平面上的射影为点,点的轨迹是直线，所以命题 点评：本题给出多个命题，要答题者对每个备选命题判断其真伪性,填写满足要
9、求的命题序号 这是近年出现的创新题型，望关注五、冲刺训练1. 在正方体中,分别为棱,的中点，则在空间中与三条直线,，都相交的直线（ )A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D有无数条2 已知平面平面，= ，点A，Al，直线l，直线AC,直线m，m,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( ）A.BmB. CmC BD.AC3.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）A1 B 24 已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于_.5 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都
10、在同一个球面上,且该六棱柱的高为，底面周长为3,那么这个球的体积为_.6. 如图，矩形ACD和梯形BEF所在平面互相垂直，CF=CEF=90,A=求证：A平面DF;当A的长为何值时，二面角A-EFC的大小为6?六、复习策略立体几何是每年高考的重点,且试题基本保持相对稳定，因此复习时要注意以下几个方面：.梳理定义、定理,如线面、面面平行与垂直的判定和性质定理.2.通过典型问题掌握基本解题方法，如空间角与距离的求法，简单几何体的面积与体积的计算，与球有关的组合体等问题.3.注意数学思想方法的运用,如转化与化归思想、等积变换、分割与补形、空间图形平面化等.充分发挥空间向量的作用，通过向量的坐标运算方
11、法去研究空间图形，从而提高解题技巧 冲刺训练答案1. D提示：在EF上任意取一点，直线与M确定一个平面,这个平面与C有且仅有1个交点, 当M取不同的位置就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线与这3条异面直线都有交点的.如右图. D 提示：容易判断、B、C三个答案都是正确的,对于D,虽然,但AC不一定在平面内,故它可以与平面相交、平行，故不一定垂直3. 提示:设两圆的圆心分别为、,球心为,公共弦为AB,其中点为E,则为矩形，于是对角线,而，4. 提示：如图可知：,正四棱柱的体积等于25. 提示:正六边形周长为3,得边长为，故其主对角线为,从而球的直径 球的体积6. 解:如图,以点为坐标原点，以B、CF和D分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系xy设AB=,BE=,F=c,则C(0，0,0)，A（证明:C平面AB.平面DCF，平面ABE平面DC，故AE平面DC.解：，从而,解得=3,c=4.设与平面AF垂直，则，解得又BA平面BEFC,，得到,当A为时,二面角A-EFC的大小为6
