《2019年高考物理模型系列之算法模型专题05万有引力定律应用模型学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年高考物理模型系列之算法模型专题05万有引力定律应用模型学案（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题05万有引力定律应用模型模型界定本模型中归纳万有引力定律及其适用条件，在天体问题中主要是涉及中心天体的质量与密度的计算，沿椭圆轨道运行的天体及变轨问题.模型破解1.万有引力定律(i)内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小F与物体的质量m和m2的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比.(ii) 公式Gmm22iir式中质量的单位用kg,距离的单位用m,力的单位用N.G是比例系数，叫做引力常量，G=6.67X10N-m2/kg2.(iii) 适用条件万有引力公式适用于两质点间的引力大小的计算对于可视为质点的物体间的引力的求解也可以利用万有引力公式，如两物体间距离远大于物体本身大小r是球
2、心间距离.时，物体可看做质点；均匀球体可视为质量集中于球心的质点，公式中当研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一个物体上所有质点的万有引力,然后求合力.例如将物体放在地球的球心时，由于物体各方面受到相互对称的万有引力，故合外力为零2.万有引力与重力的区别(i)自转的影响当物体位于赤道上时:00mgFnGMm 2厂 mRR2当物体位于两极时:900mgGMmR2当物体位于纬度时，万有引力为FGMm,物体所需向心力 FnR21 mR cos 是万有引力的一个分力，所谓重力是与地面对物体的支持力相平衡的万有引力的另一个分力.物体的重力产生的原因是万有引力
3、，但在一般情况下万有引力不等于重力，重力的方向不指向地心，由于地球自转的影响，随着纬度的增加，向心力越来越小，重力越来越大，因而重力加速度也随着纬度的增加而增大.(ii) 地面到地心距离与R与地球密度的影响由于地球是椭圆体，质量分布也不均匀，重力与重力加速度也会发生变化.如果只考虑地球的形状，从赤道到两极，地面到地心的距离越来越小，重力与重力加速度越来越大；如果只考虑地球自转的影响，从赤道到两极，所需向心力越来越小，重力与重力加速度也越来越大.(iii) 赤道上的物体由于赤道上的物体重力与万有引力的差别在千分之四以下，因此在忽略地球处置的影响下可近似认为地球引力等于重力，有所谓的黄金代换式：G
4、MgR2.例1.如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为；石油密度远小于，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度(正常值)沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。重力加速度在原坚直方向(即PO方向)上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为Go(1)设球形空腔体积为V,球心深度为d(远小于地球半径)，PQ=x,求空腔所引起的Q点处的重力加速(2)若在水平地面上半径L的范围内发现：
5、重力加速度反常值在与k(k1)之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心，如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球L2kG (k2/3 1)形空腔球心的深度和空腔的体积。答案：(1)GVd(2)(d2x2)3/2,k2/31解析：(1)如果将近地表的琮形空腔直解度为。的岩石贝该地区重力加速度便回到正常值一因此,重力加速度反常可通过埴充后的球形区域产生的附加引力G当二小来计算一式中的m是Q点处某质点的展量是填充后球形区域的质量，版=pV,而工是球形空腔中心。至Q点的距离在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小X2点处重力加速度改变的方向沿OQ方
6、向重力加速度反常是这一改变在竖直方向止的投影二朦立以上式子得rGWd(2)由式得，重力加速度反常g的最大值和最小值分别为maxG Vd g min22 3/2(d2 L2)由提设有 g max kmin联立以上式子得，地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为d / L , Vk2/31L2kG (k2/31)例2 .地球可视为球体,自转周期为T,在它两极处，用弹簧不测某物体重力为P,在它的赤道上，用弹簧秤测同一物体的重力为0.9 P,地球的平均密度是多少?40 R：GT24 R333解析:30GT2设物体质量为 解地球质量为 M半彳仝为R。在两极处：物体重力等于万有引力PGMm,R2在赤道处：
7、地球对物体的万有引力与弹簧对物体的拉力的合力提供向心力。由牛顿第二定律:MmF0.9PT2 3两式联立可得：地球的平均密度模型演练40 2R3GT240 2R3M GT2V 4 R3330Gt71. 一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量G,若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为A.3G1)2D.答案：D解析球形天体表面的赤道上，物体对天体表面压力恰好为零，说明天体对物体的万有引力恰好等于物体随天体运动所需的向心力,有T = 解得：正确选项为D。A.0.5B2.C.3.2D.4(i)测质量的两种方法“地上的方法”在天体的表面，忽略星体的自转则有万有
8、引力等于重力:mgGMm 篇一厂,解得MRgR2此法中小腹星体答案：B解析：(1)在该行星表面处，G*mg行，g行=16m/s .据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N,由此可推知该行星的半径与地球半径之比约为.在忽略自转的情况下，万有引力等于物体所受的重力GMme,GM皿%IM行g地正确。mg，有RJ，故一I-=2RIgR地MM地g行表面的重力加速度，故称之为地上的方法”.若天体围绕某中心天体作匀速圆周运动时，万有引力充当向心力:GMm2- r22mr()2 ,可解得中心天体的质/ 2
9、 3日4 r重M2-GT（ii）测密度的方法天体的平均密度:M ,而天体的体积：V 4 R3 ,故有V33 r34,士3 .若运行天体的轨道 GT2R33近似等于中心天体R的半径时：-,只需测出运行天体绕中心天体表面运行的周期即可.GT2例3.(1)开普勤行星运动第三定律指出，行星绕太阳运动的椭圆轨道的正半长轴a的三次方与它的公转周3a期T的一次万成正比，即一2k,k是一个所有行星都相同的常量，将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，T2请你推导出太阳系中该常量k的表达式。已知引力常量为G,太阳的质量为M太。(2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立，经测定
10、月地距离为3.84X108m月球绕地球运动的周期为2.36X106s,试计算地球的质量”地=（G=6.67X1011Nm2/kg2,结果保留一位有效数字）一42k24答案：（1）4k（2）6X10kg解析；fD因行星绕太阳作匀速圆周运动,于是轨道的半长$由。即为轨道半径n根据万有引力定律和牛顿第二定律有于是有故闻哀上*4（J(2)在月地系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R,周期为T,由式可得解得M 地=6X 1024kg（M地=5X1024kg也算对）例4.宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落
11、回原处。(取地球表面重力加速度g=10m/s2,空气阻力不计)(1)求该星球表面附近的重力加速度g;(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星：R地=1:4,求该星球的质量与地球质量之比M星：Mm。答案：(1)2m/s2(2)1:80解析：(1)t=,所以g;=-g=2m/s2,g5(2)g=R,所以M=G,可解得：M星：M地=1/542=1:80,模型演练3 .“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期T,已知引力常数G半彳空为R的球体体积公式V-R3,则可估算月4球的A.密度B.质量C.半径D.自转周期答案：A解
12、正墟峨二号节近月表面做周期已知的匀速圆周运动，有等1=心牛口由于月球半径R未如所以R1广无法估算质量M,但皓含球体体积公式可估篁密度(与营成正比3A正确。不前将田常桃二号f的周期与月球的目转周期混淆；无法求出月球的自转周期，4 .一行星绕恒星作圆周运动。由天文观测可得，其运动周期为T,速度为v,引力常量为G,则3TA.恒星的质量为:T， ，一 4.行星的质量为-9GT2C.行星运动的轨道半径为vT D .行星运动的加速度为 2-v2T答案：ACD解析：根据圆周运动知识得：由v红得到行星运动的轨道半径为r,C正确。根据万有引力提供向T223T心力得：用mr4由得M-v,故A正确；根据题意无法求出
13、行星的质量，故B错误.根r2T22G由得：行星运动的加速度为2-v .故D正确.T5.天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G=6.67X10-11NI-m2/kg2,由此估算该行星的平均密度为A.1.8X103kg/m3B.5.6X103kg/m3C.1.1X104kg/m3D.2.9X104kg/m3答案：D解析:苜先4艮据近地卫星饶地球运动的向心力由万有引力提供G等=切虫普,可求出地球的质量然后根R1T1据。=及质量与半径间的关系,可得该行星的密度约为2.9x104成6.已知地球同步
14、卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为A.6小时B.12小时C.24小时D.36小时答案：B解析：地球的同步卫星的周期为T1=24小时，轨道半径为n=7R,密度p1。某行星的同步卫星周期为丁2,轨道半径为r2=3.5R2,密度p2。根据牛顿第二定律和万有引力定律分别有4 5g切i工Pi弓码- 正J=g学力Gw7-.1 p- TlR2Ji两式化简得4.应用之二：行星表面重力加速度、轨道重力加速度（重力近似等于万有引力）表面重力加速度:-MmGmg0R2goGMR2轨道重力加速度:GMm-mgh hghGMR h 2R2 2 go (R h)地面下的重力加速度:GMm2(R d)243 (R d)3一(R d)3 (- -M3R3gdGMR3(R d) -RRd g0从行星中心到无限远重力加速度的变化规律如图所示:
