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1、高考数学精品复习资料 2019.5课时巩固过关练(十六)圆锥曲线中的热点问题一、选择题1(20xx湖南师大附中月考)设双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线与抛物线y2x的一个交点的横坐标为x0，若x01，则双曲线C的离心率e的取值范围是()A. B(，)C(1，) D.解析：联立消去y得x2x，由x01知1，即1，故e21，所以1e0，b0)的焦点F1(c,0)、F2(c,0)(c0)，过F2的直线l交双曲线于A、D两点，交渐近线于B、C两点，设m，n，则下列各式成立的是()A|m|n| B|m|0解析：如图，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，B(x3，y3)，C(x4，y4)，则(x3
2、x42c，y3y4)，(x1x22c，y1y2)，m(x3x42c，y3y4)，n(x1x22c，y1y2)设直线l的方程xmyc代入b2x2a2y2a2b2，得(b2m2a2)y22b2mcyb2(c2a2)0，故y1y2，由得y3；由得y4，y3y4，y1y2y3y4，又x1x2m(y1y2)2c，x3x4m(y3y4)2c，x1x2x3x4，mn，|mn|0，故选C.答案：C3(20xx吉林长春二模)过双曲线x21的右支上一点P分别向圆C1：(x4)2y24和圆C2：(x4)2y21作切线，切点分别为M，N，则|PM|2|PN|2的最小值为()A10 B13C16 D19解析：由题意可知
3、，|PM|2|PN|2(|PC1|24)(|PC2|21)|PC1|2|PC2|23(|PC1|PC2|)(|PC1|PC2|)32(|PC1|PC2|)32|C1C2|313，故选B.答案：B4(20xx江西南昌调研)已知圆O1：(x2)2y216和圆O2：x2y2r2(0re2)，则e12e2的最小值是()A. B.C. D.解析：当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|MO1|4r2a，e1.当动圆M与圆O1相内切，与圆O2相外切时，|MO1|MO2|4r2a，e2，e12e2，令12rt(10t0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB120.过弦AB的中点M作
4、抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为()A. B.C1 D.解析：如图，过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，设|AF|a，|BF|b，由抛物线定义，知|AF|AQ|，|BF|BP|.在梯形ABPQ中，2|MN|AQ|BP|ab，在ABF中，由余弦定理得，|AB|2a2b22abcos120a2b2ab(ab)2ab，因为a0，b0，所以ab2，所以(ab)2ab(ab)22(ab)2，即|AB|2(ab)2，所以3，则，所以的最小值是，故选D.答案：D二、填空题6(20xx浙江温州二模)已知斜率为的直线l与抛物线y22px(p0)交于x轴上方的不同两点A、B，记直线O
5、A、OB的斜率分别为k1、k2，则k1k2的取值范围是_解析：设直线l的方程为yxb(b0)，即x2y2b，代入抛物线方程y22px，可得y24py4pb0，由16p216pb0，得pb，即1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，得y1y24p，y1y24pb，k1k22.答案：(2，)7(20xx安徽安庆二模)已知抛物线C：x28y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点P，则的最小值为_解析：如图，|2|21.由抛物线的定义知：|d(d为点Q到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，|min2，的最小值为3.答案：38已知抛物线y22px(p0)的焦点
6、为F，ABC的顶点都在抛物线上，且满足0，则_.解析：由题易知F，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由0知，(0,0)，故y1y2y30，同理可知，0.答案：0三、解答题9.如图，已知抛物线C：x24y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2.证明：|MN2|2|MN1|2为定值，并求此定值(1)证明：依题意可设直线AB的方程为ykx2，代入x24y，得x24(kx2)，即x24kx
7、80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x28，直线AO的方程为yx，直线BD的方程为xx2.解得交点D的坐标为，注意到x1x28及x4y1，则有y2.因此D点在定直线y2上(x0)(2)解：依题设知，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为yaxb(a0)，代入x24y得x24(axb)，即x24ax4b0，由0得 (4a)216b0，化简整理得ba2.故切线l的方程可写为yaxa2.分别令y2、y2得N1、N2的坐标为N1、N2，则|MN2|2|MN1|224228，即|MN2|2|MN1|2为定值8.10(20xx山东卷)已知椭圆C：1(ab0)的长轴长为4，焦距为2.(
8、1)求椭圆C的方程(2)过动点M(0，m)(m0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.设直线PM，QM的斜率分别为k，k，证明为定值；求直线AB的斜率的最小值(1)解：设椭圆的半焦距为c.由题意知2a4,2c2，所以a2，b.所以椭圆C的方程为1.(2)证明：设P(x0，y0)(x00，y00)由M(0，m)，可得P(x0,2m)，Q(x0，2m)所以直线PM的斜率k，直线QM的斜率k.此时3.所以为定值3.解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)由知直线PA的方程为ykxm，则直线QB的方程为y3kxm
9、.联立整理得(2k21)x24mkx2m240.由x0x1，可得x1，所以y1kx1mm.同理x2，y2m.所以x2x1，y2y1mm，所以kAB.由m0，x00，可知k0，所以6k2，等号当且仅当k时取得此时，即m，符合题意所以直线AB的斜率的最小值为.11(20xx四川卷)如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且1.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解：(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点P的坐标为(0,1)，且1，于是解得a2，b.所以椭圆E的方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)0，所以，x1x2，x1x2.从而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，当1时，23.此时，3为定值当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD.此时，213.故存在常数1，使得为定值3.
