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1、概率论与数理统计教案 信息与数学学院第三章 多维随机变量及其分布讲授内容：1 二维随机变量 2 边缘分布教学目的与要求：、 理解多维随机变量及其联合分布的概念.、 掌握二维随机变量的联合分布的概念及其性质.、 掌握二维离散型随机变量的联合分布列、边际分布列.、 掌握二维连续型随机变量的联合概率密度、边际概率密度、 会利用二维概率分布求有关事件的概率重难点：重点二维离散型随机变量的联合分布律及边缘分布律，二维连续型随机变量的联合概率密度及边缘概率密度难点利用二维概率分布求有关事件的概率，二维正态分布.教学方法：课堂讲授教学建议 ：、 要求学生课前复习重积分知识、对遇到的积分定限问题，应详细地示范
2、一二，不可全部一笔带过学时： 学时教学过程：1 二维随机变量一、二维随机变量的概念 在射击时，炮弹弹着点与横坐标和纵坐标有关，弹着点受两个变量的影响横坐标和纵坐标是定义在一个样本空间的两个随机变量 与一维随机变量类似，一般地我们可定义二维随机变量如下：定义：设是一个随机试验，样本空间是 ，设 和 是定义在其样本空间上的随机变量，由它们构成的向量，称为定义在样本空间上的二维随机向量或二维随机变量 图1在研究随机向量的概率特征时，除每个随机变量的概率特征外，还要研究它们的联合概率特征：后者可以完全决定前者，但是前者一般不能完全决定后者因此，只研究单个随机变量的分布是不够的，还必须研究随机向量作为一
3、个整体的联合分布 与一维情形类似，为了研究二维随机变量的联合分布，我们引入“分布函数”来研究二维随机变量定义：设 是二维随机变量，对于任意的实数，二元函数： 称为二维随机变量 的分布函数，或称为随机变量和的联合分布函数 如果将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标，那么，分布函数 在平面上任意点处的函数值就是随机点落在点左下方的整个无穷区域内的概率，如图2所示图3图2 借助图3容易算出随机点落在矩形区域 的概率为联合分布函数具有下列基本性质：1 是变量的不减函数 2 ，且对任意固定的,对任意固定的 ， ， 3 ， 关于和均右连续4对任意 ，下述不等式成立：二、 二维离散型随机变量与一维随机变量的
4、情形类似，我们这里讨论的也是离散型和连续型这两种类型的二维随机变量定义：若二维随机变量的所有可能取值是有限对或可列无限多对，则称为二维离散型随机变量 显然，若是二维离散型随机变量，则其分量 和都是一维离散型随机变量 设是二维离散型随机变量，它所有可能的取值为 ， 记 ，则由概率的定义有 1. （非负性） 2. （规范性） 我们称 为二维离散变量 的分布律，或随机变量和的联合分布律 我们可以用表格表示和的联合分布律：例1设随机变量在四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量在中等可能的取一个值试求的分布律解： 由乘法公式容易求得的分布律易知的取值情况是： 取不大于的正整数且，1 2 3 4 3
5、4于是的分布律为： 1 1/4 1/8 1/12 1/16 42 0 1/8 1/12 1/16 43 0 0 1/12 1/16 4将看成一个随机点的坐标，由图2知道离散型随机变量和的联合分布律为 （1） 例2 一个袋中有三个球,依次标有数字， 从中任取一个， 不放回袋中， 再任取一个， 设每次取球时各球被取到的可能性相等，以分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，求的分布律 解：的可能取值为故的分布律为1 2 41 0 1/3 2 1/3 1/3 1/3 三、 二维连续型随机变量与一维情形类似，我们有如下定义：定义 设二维随机变量 的分布函数为，若存在非负可积函数使得对于任意实数 和 ，
6、有 则称为连续型的二维随机变量，称为二维随机变量的概率密度，或称为随机变量和的联合概率密度 按定义，概率密度 具有以下性质：（1） （非负性） （2） （规范性） （3） 设G是平面上的区域 ，点 落在内的概率为 （4） 若在点连续，则有 在几何上表示空间的一个曲面，由性质2知，界于它和平面的空间区域的体积为1由性质3知，值等于以为底、以曲面为顶的曲顶柱体的体积例3 设二维随机变量的概率密度为 (1) 求分布函数 ; (2)求概率 图4oG解： （1） 即有 （2）将看作是平面上随机点的坐标，即有 其中为平面上直线 及其下方的部分，如图4，于是 例4 设二维随机变量的概率密度为解：(1) 所以
7、，即(2) (3) (4) 注：1 往往是一个重要的隐含条件计算类似于这种问题，关键在于先确定事件所对应的区域的图形，然后只需利用性质将问题转化为上的重积分四、多维随机变量关于二维随机变量的讨论可以推广到维随机变量的情况一般地，设是一个随机试验，它的样本空间是 ，设 是定义在其样本空间上维随机变量，由它们构成一个维向量，叫做n维随机向量或n维随机变量 对于任意个实数，元函数 称为n维随机变量的分布函数或随机变量的联合分布函数.它具有类似于二维随机变量的分布函数的性质 2 边 缘 分 布一 、 边缘分布函数二维随机变量作为一个整体，它具有联合分布函数，而 和都是一维随机变量，它们也有自身的概率分
8、布函数，将它们分别记为 ，依次称为二维随机变量关于和关于的边缘分布函数边缘分布函数可以由的分布函数所确定，事实上， 即，同理下面分别讨论二维离散型随机变量和二维连续型随机变量的边缘分布：二、 二维离散型随机变量设 是二维离散型随机变量，其联合分布律为 则 关于的边缘分布律为 即 其中 ： 同理 关于的边缘分布列为 记分别称和为关于和关于的边缘分布律离散型随机变量的边缘分布可从联合分布列的表格形式直接得到（强调这一点！）三、 二维连续型随机变量定义：设是二维连续型随机变量，其联合概率密度函数为 由 所以的概率密度为 同理的概率密度为 分别称 为 关于和关于的边缘概率密度 例1 一整数等可能的在
9、十个值中取一个值设是能整除的正整数的个数，是能整除的素数的个数（注意 1 不是素数）试写出和的联合分布律并求边缘分布律解： 先将实验的样本空间及，的取值情况列出如下：样本点DF1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 0 1 1 1 1 2 1 1 1 2 所有可能取的值为所有可能取的值为容易得到取的概率，这样可以得到和的联合分布律及边缘分布律如下表所示： DD1/10 0 0 0 1/10 0 4/10 2/10 1/10 7/10 0 0 0 2/10 2/10 F1 2 3 4 P F=j 012PD= i 1/10 4/10 2/10 3/10 1 即有边缘分布律：D1 2 3 4 1/10 4/10 2/10 3/10 FFFFFF0 1 2 1/10 7/10 2/10
