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1、离散数学教学大纲第一部分 大纲说明一. 课程的性质与任务离散数学是现代数学的一个重要分支，也是计算机计算机科学与技术一级学科及其相关专业必修的基础理论的核心课程。它是学习后续专业课程不可缺少的数学工具。该课程结合计算机学科的特点，主要研究离散量结构及相互关系，其研究对象一般是有限个或可数个元素，因此离散数学充分描述了计算机学科离散性的特点。它是一门理论性较强，应用性较广的课程。掌握集合论、数理逻辑、图论、整数、群、环、域、格、布尔代数以及语言与有限自动机等离散数学的基本概念和基本原理，为学习计算机专业各后续课程做好必要的知识准备。并通过这些知识的学习进一步提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，为从
2、事计算机相关的理论研究与应用提供必要的描述工具和理论基础。二 离散数学的特点作为计算机科学与技术一级学科的一门课程，离散数学有与其他课程相同相似的地方，当然也有它自身的特点：1、 义与定理多。离散数学是建立在大量定义之上的逻辑推理学科，因此对概念的理解是我们学习这门课程的核心。在学习这些概念的基础上，要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理与性质。2、 法性强。离散数学的许多证明题中，方法性是非常强的，如果知道题的证明方法，很容易就可以证出来，反之则事倍功半。所以在学习该课程中要善于总结，勤于思考，这也是培养分析问题解决问题抽象思维能力的一个过程。三 与其他相关课程的关系先
3、修课程：高等数学（包括数学分析、线性代数）后续课程：数据结构、数据库、编译原理等四课程的主要内容与基本要求本课程分为九部分：集合论基础、命题逻辑、谓词逻辑、图与网络、数论基础、群与环、多项式与有限域、格与布尔代数以及语言和有限自动机。（一） 集合论基础：在整个离散数学的知识体系中，集合论处于基础的地位，对于其所包含知识的掌握程度，直接关系到是否能学好图论和抽象代数问题。本章主要讲述集合、关系和映射。1. 掌握集合、子集、超集、空集、幂集、集合族的概念。懂得两个集合间相等和包含关系的定义和性质，能够利用定义证明两个集合相等。熟悉常用的集合表示方法。2. 掌握集合的基本运算：并、交、余、差、直乘积
4、、对称差的定义以及集合运算满足的基本算律，能够利用它们来证明更复杂的集合等式。3. 掌握关系、二元关系、空关系、全域关系、相等关系、逆关系的概念以及关系的性质：自反性、对称性、反对称性、传递性。会做关系的乘积。了解关系的闭包运算：自反闭包、对称闭包、传递闭包。4. 掌握等价关系、等价类、商集的概念，了解等价关系和划分的内在联系。5. 掌握部分序关系、部分序集、全序关系、全序集的概念以及部分序集中的特殊元素：最大元、最小元、极大元、极小元、上确界、小确界的定义。能画出有限部分序集的Hasse图，并根据图讨论部分序集的某些性质。6. 掌握映射、映像、1-1映射等概念，会做映射的乘积。了解可数集合的
5、概念，掌握可数集合的判定方法。7. 了解关系在数据库中的应用（数据的增、删、改）以及划分在计算机中的应用。重点是使学生会用集合描述和解决问题，掌握二元关系，二元关系的性质及其证明方法（按定义证明法），对映射概念的深入理解；难点是证明集合相等，等价关系与部分序关系，1-1映射的证明和集合的可数性证明。（二）数理逻辑：数理逻辑是用数学方法研究思维规律和推理过程的科学，由于它使用一套符号，简洁地表达出各种推理的逻辑关系，因此数理逻辑又称为符号逻辑。它和计算机的发展有着密切的联系，它为机器证明、自动程序设计、计算机辅助设计等计算机理论研究与应用提供了必要的理论基础。本章需要学生掌握下列内容。1. 掌握
6、命题、逻辑联结词等概念，能够将命题符号化。2. 掌握命题公式、解释、恒真公式、恒假公式等概念。能够判断一命题公式是恒真、恒假还是可满足。3. 掌握公式的等价、蕴涵等概念，熟记基本的等价式、蕴涵式，会证明更复杂的等价式、蕴涵式。4. 掌握联结词的功能完备集（全功能集）的概念，能够判别一个联结词集合是否为联结词的功能完备集。5. 掌握演绎方法，能够使用演绎方法进行有效推理。6. 掌握析取范式、合取范式、极大项、极小项、主析取范式、主合取范式的概念和性质。掌握求各种范式的方法，能够用等价演算法和真值表法求命题公式的主析取范式、主合取范式。了解一个命题公式的主合取范式与主析取范式的关系如何根据一种主范
7、式立即写出另一种主范式。7. 了解命题逻辑在二值逻辑器件和语句逻辑中的应用。重点是命题概念，等价公式与蕴涵公式，求主合取范式与主析取范式，联结词的变化与全功能集、演绎推理；难点是演绎推理和综合应用。（三）谓词逻辑：谓词逻辑是在命题逻辑的基础上，对命题进行进一步的细分，分解出命题中的主语、谓语等，以便能处理句子的内部结构之间的逻辑关系，而非仅仅是句子之间的逻辑关系。为此，谓词逻辑将处理更为复杂的问题，而谓词逻辑本身的讨论也更为复杂。本章需要学生掌握下列内容。1. 掌握谓词、全称量词、存在量词等概念，学会使用它们符号化一些命题并构成一些较复杂的命题。2. 掌握约束变量、自由变量的概念，能够正确使用
8、改名规则。3. 掌握谓词公式、解释的概念，能够求出一给定公式在某一解释下的真值。4. 掌握恒真公式、恒假公式、可满足公式等概念，了解与命题逻辑判定问题可解不同的是：谓词逻辑判定问题不可解，但谓词逻辑是半可判定的。5. 掌握谓词公式的等价、蕴涵等概念，熟记基本的等价式、蕴涵式，会证明更复杂的等价式、蕴涵式。6. 掌握谓词演算的推理理论，能够正确使用推理规则进行有效推理，并能判断一推理过程是否正确。7. 掌握前束范式、Skolem范式等概念，能够将一谓词公式化成与之等价的前束范式，并进一步化为Slolem范式。8. 了解谓词逻辑计算机科学中的应用。重点是谓词逻辑的基本概念及其符号化、谓词逻辑公式与
9、解释、等价公式与蕴涵公式、前束范式与Skolem范式、能记住主要的等值式、掌握谓词演算中的推理方法；难点是谓词演算中的推理和综合应用。数理逻辑的基本概念作为计算机科学的一种重要知识表示工具，要求通过这部分内容的学习能将所研究的对象及其相互关系形式化，并进行简单的逻辑推理。（四）图与网络：图论是一门很有使用价值的学科，它在自然科学、社会科学等各个领域均有广泛的应用。特别是在计算机科学与技术学科中的数据结构、形式语言、分布式系统、计算机图形学、操作系统等方面均有重要的应用。这种应用的多样性，使它受到了数学界与工程界的特别重视，对于这样一门广泛应用的学科，其包含的内容当然是浩瀚如海的。在本章主要介绍
10、图论的基本知识、基本理论和一些特殊图形及其性质。本章需要学生掌握下列内容。1. 掌握图、有限图、母图、子图、支撑子图、完全图、补图等概念，了解有限图中点的度的性质，掌握图的矩阵表示：关联矩阵、邻接矩阵。2. 掌握路、简单路、回路、连通图等概念。3. 理解Dijkstra算法，并能够在已知权图中使用该算法求出任意两点间的最短路。4. 掌握树、支撑树的概念以及图是树的几个等价命题。5. 理解Kruskal算法，并能够应用它求已知加权连通图的最优树。了解求最优树的Prim算法，会总结Sollin算法。6. 掌握有向图、有向子图、有向路、简单有向路、有向回路等概念。7. 掌握有向图的强连通性和有向图的
11、根的概念，了解二者的关系。8. 掌握有向树的概念以及有向树与树的转化定理。9. 掌握Euler路、Euler图的概念，掌握有向图中和无向图中Euler图的充要条件，并能利用判断某图是否为Euler图。了解从Euler路得出有向支撑树以及从有向支撑树得出Euler路的方法。10. 掌握Hamilton路、Hamilton回路、Hamilton图的概念以及Hamilton图的必要条件和若干充分条件。11. 了解流动推销员问题和求解Hamilton路的逼近算法。12. 掌握平面图、平面图的对偶图、柏拉图体等概念，掌握平面图的库拉托夫斯基判定准则、平面图的Euler公式以及平面图的性质。了解平面图的着
12、色问题。13. 掌握匹配、极大匹配、最大匹配、完全匹配、M-交错路、M-交回错路、M-增广路等概念。会求一个图中的最大匹配，和判定一个匹配是否为最大匹配（完全匹配）。14. 掌握二部图等概念，掌握判定一个二部图中存在完备匹配的充要条件以及在二部图G=(P1, L, P2)中，寻找P1到P2的一个完备匹配的Hungarian算法。15. 了解Konig无限性引理以及王浩定理。重点是图的基本概念，图论的基本定理（握手定理）及其推论，结点的度，图的连通性与回路，图的矩阵表示，权图及其最短路求法，树的概念与性质，权图中最优树的求法，有向图与有向树，掌握Euler图与Hamilton图的概念及其判别方法
13、，Euler公式和平面图的关于边与结点的数量关系不等式；难点是Euler图与Hamilton图的证明与判别方法，图着色，二部图与匹配。（五）数论基础：数论是研究整数的学科，早在公元前1世纪左右，我国第一部数学名著九章算术的第一章就开始讨论整数，介绍了展转相除法；公元4世纪，我国的孙子算经中更有闻名于世的中国剩余定理，也队整数进行了研究。而计算机只能处理有限数和有限个数，计算机的计算模型，硬件体系结构的设计与实现，代数编码，软件设计与实现，计算机通讯及密码学等，都广泛使用了整数理论，使得这门古老的学科又焕发了青春。本章介绍数论中一些最基本的事实，就是说，介绍整数的最基本性质。本章需要学生掌握下列
14、内容。1. 掌握整除、因数、倍数等概念，记住并会应用整除的性质。2. 掌握最高公因数的概念，能够使用辗转相除法求两个数的最高公因数并表示为它们的倍数和。会利用数的数码特征判别某些整除性。3. 掌握互质的概念和质数的性质。掌握质数、合数的概念以及算术基本定理、欧几里得定理。4. 掌握合同的概念以及合同的基本性质。5. 掌握剩余系、剩余类的概念。了解一次合同方程在什么条件下有解、什么条件下无解、什么时候有唯一解（一个剩余类）、什么时候有多解（多个剩余类），并对有解的情况掌握求解方法。6. 掌握秦九韶定理(及其推广)、合同方程组的一般解法。7. 掌握简化剩余系、Euler函数、Euler函数的可乘性
15、、欧拉定理、费尔马定理。8. 掌握二次同余的概念、二次同余方程的判定和求解、勒让德符号、欧拉判别法则。9. 了解合同在计算机编码中的应用。重点是掌握整数的整除性，任意二整数的最高公因数表示，互质，质因数分解，算术基本定理，一次合同及其性质，剩余类，中国剩余问题，Fermat-Euler定理，Euler函数；难点合同的概念以及合同的基本性质，简化剩余系，Euler函数，Euler函数的可乘性，欧拉定理，费尔马定理，二次同余方程的判定和求解，勒让德符号，欧拉判别法则。（六）群与环：抽象代数学的研究对象是抽象的，它不是以某一具体对象为研究对象，而是以一大类具有某种共同性质的对象为研究对象，因此其研究成果适用于这一类对象中的每个对象，从而达到事半功倍的效果。群是具有一个二元代数运算的代数系统，环是具有两个代数运算的代数系统。本章需要学生掌握下列内容。1. 掌握二元代数运算、代数系统的定义，能够判断一运算是否为二元代数运算，运算是否满足交换律、结合律、分配律、幂等律、吸收律、消去律。2. 掌握半群、群的定义以及群的性质，能够判断一代数系统是否为半群或群。3. 掌握交换群的定义以及交换群中的三个指数律。4.
