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1、例析求函数值域的方法求函数的值域常和求函数的最值问题紧密相关，是高中数学的重点和难点，虽然没有固定的方法和模式，但常用的方法有：一、直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。例1：求函数的值域。解：，函数的值域为。二、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。例2：求函数（）的值域。解：， ，函数（）的值域为。三、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。例3：求函数的值域。解：由解得，函数的值域为。四、分离常数(变量)法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反
2、函数法。分离常数:例4：求函数的值域。解：，函数的值域为。分离常数总结:y=分离变量:例5:求 的最小值解:五、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、均为常数，且）的函数常用此法求解。例6：求函数的值域。解：令（），则，当，即时，无最小值。函数的值域为。三角代换例7：求的值域解：令 六、判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。例8：求函数的值域。解：由变形得，当时，此方程无解；当时，解得，又，函数的值域为七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个
3、定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例9：求函数的值域。解：当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，函数在定义域上是增函数。，函数的值域为。八、利用有界性：利用某些函数有界性求得原函数的值域。例10：求函数的值域。解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，对函数进行变形可得，（，），函数的值域为九、图像法（数形结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。例11：求函数的值域。解： ，的图像如图所示，由图像知：函数的值域为十、基本不等式法十一、导数法 十三、最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。例12：求函数，的值域。 十四、构造法：根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例18：求函数的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=,则EK=2,KF=2,AK=,KC= 。由三角形三边关系知，AK+KCAC=5。当A、K、C三点共线时取等号。原函数的知域为y|y5。
