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1、第 61 讲 复数 （第课时）神经网络准确记忆！重点难点好好把握！重点：1复数概念与代数形式；2加减法的几何意义。难点：几何意义的应用。考纲要求注意紧扣！1理解复数的有关概念，掌握复数的代数表示和几何意义，了解数系的扩充；2掌握代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的四则运算。命题预测仅供参考！1复数的概念常考，但要求不高，只在小题中出现；2复数运算是核心内容，多以中低难度题型出现。考点热点一定掌握！1复数的有关概念复数：平方等于且和实数在一起按通常四则运算律进行运算的数叫做虚数单位。当、是实数，形如的数叫做复数。其中时即为实数，时叫做虚数，且时叫做纯虚数。复数的形式叫做复数的代数形式，叫做实
2、部，叫做虚部。复数的相等：当且仅当两个复数的实部与实部相等，虚部与虚部相等，这两个复数才相等。即 。共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数。例如和互为共轭复数。 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，就不能比较他们的大小。 复数的绝对值：一个复数的实部与虚部的平方和的算术平方根叫做这个复数的绝对值，也叫模，的模为，记为 ，即 。注意：实数绝对值定义包括在复数绝对值定义里。如实数，故。 ， ，而 。例我们学复数的时候，只规定了 ，而没有规定 ，这是为什么？分析：假设我们规定 ，那么根据运算法则就有：这个矛盾说明，虽然我们可以规定方根记号的单值性，但这个记号却不能具
3、有方根的性质。所以我们不能规定 。我们见到的记号“”表示的是复数的个次方根的集合，而不是的某个确定的次方根，也就是说，记号“”不具有单值性。如果你认为 就错了。实际上，正确的算法是 。只要你见到负数开平方，就先将其用虚数单位表示出来，然后再按照运算法则进行运算，就能避免这种错误。2复数的代数形式及其运算复数代数形式的运算按下列法则进行： 按多项式运算法则进行加、减、乘、除、乘方的运算。例. 在复数范围内分解因式 。解： 遇有化为。例. 计算 。解：原式 遇有分母为虚数时，把分母与分子同时乘以分母的共轭虚数，使分母化为实数。例. 求适合下式的实数和： 。解：原式化为 ，即 ，即 ， 和为实数，解
4、之得 ， 。 把运算的最后结果写成复数代数形式。注意：实数集的某些法则和性质不能搬到复数集中，如下所示： ，、为分数时不成立； ，为虚数时不成立； ，、为虚数时不成立； ，为虚数时不成立； ，为虚数时不成立 。 . 、3有关复数的常用结论 两个复数相等的充要条件： 。 复数为实数的充要条件： （或表述为 ，也可表述为 ）。 复数为纯虚数的充要条件： 且 （或表述为 ，也可表述为 ）。 共轭复数的性质：一个复数与它的共轭复数的积等于这个复数的模的平方；和差积商的共轭复数等于共轭复数的和差积商。 。 。 ， 。 ， ， ， （）。例设是虚数， 是实数，且 ， 求的值及的实部的取值范围； 设 ，求证
5、：为纯虚数； 解：设 ， 是实数， ，而 ， ，即 ， 把 代入 可得 ，又 ，即 。点评：本题利用了常用结论。 证明： ， ， ， 为纯虚数。点评：本题利用了常用结论。4复数及其运算的几何意义 复数及其有关概念的几何意义复数集与直角坐标平面（复平面）上的点集一一对应，并与以原点为共同起点的定位向量集一一对应。特别地，实数与轴（实轴）上的点对应，纯虚数与轴（虚轴）上的点对应。相等的复数对应同一点，对应相等的向量。与共轭复数对应的两点（或定位向量）关于轴对称。复数的模等于其对应的向量的模，等于其对应的点到原点的距离。 复数加减运算的几何意义设复数、对应的向量分别为、 ，则 与向量 + 对应； 与
6、向量 - 对应； 复平面内两点之间的距离 。 以为圆心，为半径的圆的方程是 ；圆的内部为 ；闭圆环为 ；圆环的内部为 。 线段的垂直平分线的方程是 。 以、为焦点，为长半轴的椭圆方程是 。若 ，则此方程表示以、为端点的线段。以、为焦点，实轴长为的双曲线方程是 。若 ，则此方程表示以、为端点的两条射线。 。例（2000年上海高考题）已知复数均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数.（1）试求的值，并分别写出和用、表示的关系式；（2）将(、)作为点的坐标，(、)作为点的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点，当点在直线上移动时，试求点P经该变换后得到的点的轨
7、迹方程。解： 由题设， ，于是由 可得 ，因此由 ，得关系式 设点在直线上，则其经变换后的点满足，消去，得，故点的轨迹方程为 。能力测试认真完成！参考答案仔细核对！12345678复数的概念复数的代数形式及其运算复数及其运算的几何意义复数的综合应用1下面的运算过程哪儿错了？ ，两边开平方得 ， ， ， 。答：错在 ， 。2计算 。解：原式 说明: 本题用到 。3在复数范围内分解因式 。解： 原式 。4求满足下列条件的复数所对应的点的轨迹。 ； ； 。分析：的几何意义就是这个复数在复平面内所对应的点到原点的距离。所以本题就是求与原点的距离等于和小于4的点的轨迹。解： 根据圆的定义可知，所求轨迹是
8、一个以原点为圆心，4为半径的圆。 显然，所求轨迹是一个圆面，即第小题的那个圆的内部。 这是一个圆环（包括圆上的两个点），内圆的圆心是原点，半径是1，外圆的圆心是原点，半径是2。5例（年高考题）提示：分析：解：证明：点评：解题错误：错误原因分析： . 、a、b、c、d、|a|、|b|、|c|、|d|、ab、cd、ab、ab、 、解题错误：（分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图。）错误原因分析：（年高考第大题第小题）2o21xyx2o21yyxo502yxo 当 时， ，结论成立； 假设当 时，结论成立，即 ，那么当 时， 结论也成立；综上所述，命题成立。D1C1B1A1DCBAD1C1B1A1CBADDB1C1D1A1CBAABACCBAC1B1A1DD1CBADCBAD1C1B1A1
