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1、硕士学位论文两类延迟微分方程指数Runge-Kutta方法的稳定性STABILITY OF EXPONENTIAL RUNGE-KUTTA METHODS FOR TWO TYPES OF DELAY DIFFERENTIAL EQUATIONS 哈尔滨工业大学 年 月理学硕士学位论文两类延迟微分方程指数Runge-Kutta方法的稳定性硕士研究生：导 师：教授申请学位：理学硕士学科：计算数学所 在 单 位：理学院数学系答 辩 日 期：年 月授予学位单位：哈尔滨工业大学哈尔滨工业大学理学硕士学位论文摘 要事物的变化是多样的，有时事物的变化和当前状态有关，而有些时候事物的变化还和过去的状态密切相
2、关，为了很好地描述这一问题，在数学上建立起了延迟微分方程模型。虽然延迟微分方程能够较好地刻画上面提到的问题，但是延迟微分方程的精确解一般不太容易求出，因此在数学上求解延迟微分方程数值解的意义就变得十分重要。本文应用指数Runge-Kutta方法来求解两类延迟微分方程，并分析数值解的稳定性。在第2章分析了矩阵系数的延迟微分方程数值解的稳定性。应用指数方法求解该问题，并对延迟项采用插值方法进行表示。讨论了矩阵系数延迟微分方程数值解的渐近稳定性，并给出数值解要保持精确解的稳定性，带有插值的指数方法应该要满足的充分条件。在第3章分析了多延迟微分方程数值解的稳定性。应用指数方法求解多延迟微分方程，并对每
3、一个延迟项都采用插值方法。同样也讨论了多延迟微分方程数值解的渐近稳定性，给出了数值解要保持数值解的渐近稳定性，带有插值的指数方法应该要满足的充分条件。对于这两类问题所得到的结论均用数值算例进行了检验。关键词：延迟微分方程；指数Runge-Kutta方法；插值；渐近稳定性-I-哈尔滨工业大学理学硕士学位论文AbstractWe know everything is changing. Sometimes this change is related to current status, otherwise, it may relates to past conditions. For a bet
4、ter description of this phenomenon, mathematicians built up delay differential equations. This kind of model can present this problem very well, but the exact solution of the delay differential equations cannot be gotten easily. So it becomes significant to solve the delay differential equations num
5、erically.This paper adopts exponential Runge-Kutta methods to solve two types of delay differential equations. Then the numerical stability is analyzed.In chapter 2, we analyze the delay differential equation which its coefficients are matrixes. We apply the exponential Runge-Kutta methods to solve
6、this equation, and use polynomial interpolation to express the delay term. Asymptotic stability of the numerical solutions for this type of equation is discussed. As a result, sufficient conditions are proposed which should be satisfied of the exponential Runge-Kutta methods to preserve the asymptot
7、ic stability of this type of equation. In chapter 3, we analyze the delay differential equation with several delay terms. Exponential Runge-Kutta methods are applied to solve this equation, and polynomial interpolations are used to express all the delay terms. We discuss the asymptotic stability of
8、this type of equation. Similarly, sufficient conditions are proposed which should be satisfied for the exponential Runge-Kutta methods to preserve the asymptotic stability of the exact solutions of several delay differential equation. The conclusions are demonstrated by numerical examples.Keywords:
9、delay differential equations, exponential Runge-Kutta methods, Interpolation, asymptotic stability-5-目 录摘 要IAbstractII第1章 绪 论11.1 课题背景及研究的目的和意义11.2 国内外在该方向的研究现状及分析21.2.1 延迟微分方程精确解的稳定性研究21.2.2 延迟微分方程数值解的稳定性研究31.3 主要研究内容5第2章 矩阵系数延迟微分方程指数Runge-Kutta方法的稳定性72.1 引言72.2 指数Runge-Kutta方法72.3 延迟微分方程指数Runge-Ku
10、tta方法的数值稳定性92.4 数值算例132.5 本章小结28第3章 多延迟微分方程指数Runge-Kutta方法的稳定性293.1 引言293.2 多延迟微分方程指数Runge-Kutta方法293.3 多延迟微分方程指数Runge-Kutta方法的数值稳定性303.4 数值算例353.5 本章小结41结 论42参考文献43致 谢46哈尔滨工业大学理学硕士学位论文第1章 绪 论1.1 课题背景及研究的目的和意义数学家们对微分方程的科学研究已有很长的历史了。早在牛顿和莱布尼兹创造微积分时，就指出微分和积分在本质上是互逆的。20世纪以来，新型的微分方程随着大量的边缘科学如流体力学、生命科学、工
11、程应用的发展而涌现出来。我们知道世界万事万物变化总是多端的，有时候，事物的当前状态和变化有关，我们建立起常微分方程模型和偏微分方程模型来描述这一现象。但随着科学技术研究水平的不断发展进步，在分析问题的时候可能需要考虑已经发生过的因素。为了能在数学上更好地描述这种现象，我们引入了延迟项，从而获得了新的模型。对于这种类型的问题，常称之为延迟微分方程（DDEs）模型问题。早在上个世纪早期就有学者研究了捕食模型，并粗略地提出了和过去相关的微分方程。1942年Minorsky明确地提出了在反馈系统中添加延迟项是很有意义的。而近些年来，对于延迟微分方程的研究，学者们已经建立起了一些很好的模型。下面，我们就
12、列出几个实际的例子来说明延迟微分方程在各学科中的应用。例1 在物理学中的电流配置模型1 (1-1)例2 在控制系统中的信号脉冲的传递模型2 (1-2)例3 在生物学中的疾病传播扩散模型3 (1-3)对延迟微分方程研究的一个重点就是对它的稳定性做出分析。稳定性包括系统稳定性和数值稳定性两个方面。而这两种稳定性中，系统稳定性的研究是研究者们最关心的问题，因为一个系统总是或多或少的会受到干扰，而我们又总是希望是稳定的。在延迟微分方程发展早期，学者们认为延迟微分方程和常微分方程类似，对它们采用无差异化的数值处理方式，并没有对延迟微分方程过多的考虑它的专有解法。但事实并没有如此的乐观，就分析稳定性来说，
13、用通常的方法求解时，发现它们并没有这么容易。对于延迟微分方程，它的精确解表达式一般是很难给出的。所以我们用数值方法来求解问题的数值解来近似精确解，而数值方法求解数值解就会遇到一个问题：数值解是否能够保持精确解的稳定状态。1.2 国内外在该方向的研究现状及分析我们将从精确解和数值解这两个部分来分别阐述延迟微分方程稳定性理论的发展现状。1.2.1 延迟微分方程精确解的稳定性研究在1963年，R.Bellman和K.l.Cooke4表明，问题 （1-4）若满足条件，就有当时，。随后A.N.Al-Mutib在文献5中证明了只要，问题 （1-5）其中，它的所有解当的时候都以0为极限。在1983年，T.M
14、ori，E.Noldus和M.Kuwahara6将上述问题中的复数换成阶的实矩阵，即 （1-6）并指出了(1-6)若满足，则是渐近稳定的，这里，是矩阵的欧氏范数。而对于中立型的延迟微分方程 （1-7）R.K.Brayton 7，J.X.Kuang 8分别做出了解的渐近稳定性分析。在1995年，J.X.Kuang和H.J.Tian9就非线性多时滞项的微分方程的理论解和数值解的渐近性态做了分析，问题形式如下 （1-8）其中()是常数矩阵，且表明在适当条件下，非线性多滞时微分系统的理论解是渐近稳定的，且隐式欧拉公式得到的数值解具有相同性态。2008年7月，牛原玲和张诚坚在文献10中讨论了维多时滞项的延迟微分方程系统 （1-9）并证明了系统是指数稳定的充分条件。1.2.2 延迟微分方程数值解的稳定性研究由于大部分的延迟微分方程精确解都是不可求的，随着计算机技术的发展，对于延迟微分方程的数值解的解法也越来越受到人们的关注。而其中解法的稳定性又是在求解过程中最受大家关心的问题。早在1960年Zverkina和在1965年Snow等人就研究了延迟微分方程的数值理论。1986年，M.Zennaro11首次论证了Runge-Kutta应用于问题（1-5）时会保留问题的渐近性质，继而讨论了数值方法的-稳定，-稳定，并说明了任何对于常微分方程-稳定的数值方法应用于延迟微分方程时都是-稳定的。1994年
