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1、第三章 几种横向自适应滤波算法及其改进研究3.1 自适应横向滤波器的定义及其性能函数3.1.1 横向自适应滤波器横向自适应滤波器是一类基本的自适应滤波器形式8。所谓自适应实现是指：M阶滤波器的抽头权系数，可以根据估计误差的大小自动调节，使得某个代价函数最小。令表示图2.1中的滤波系数矢量，滤波器抽头输入信号矢量，显然，输出信号为 (3-1)式中表示转置。利用图2.5中的输出信号和输入信号之间的关系，误差序列 (3-2)显然，自适应滤波器的控制机理是用误差序列按照某种准则和算法对其系数进行控制的，最终使自适应滤波的目标（代价）函数最小化，达到最佳滤波效果。按照均方误差（MSE）准则所定义的目标函
2、数是： (3-3)将式（3-1）代入式（3-3），目标函数可以重新写为 (3-4)当滤波器的系数固定时，目标函数可以写为 (3-5)其中，是输入信号的自相关矩阵，是期望信号和输入信号的互相关矢量。3.1.2 自适应滤波器的性能函数习惯上称均方误差为自适应滤波器的性能函数，并记为、或者MSE，即 (3-6)由式(3-5)知，当输入信号与期望信号为平稳随机过程时，性能函数为权矢量的二次函数。二次均方误差函数的曲面形式为一碗状抛物面，当权矢量的维数大于2时，性能函数为一抛物面形式，且其抛物面上有唯一的全局最优点。当自相关矩阵为正定的，超抛物面向上凹起（即碗口朝上），表示均方误差函数有唯一的最小值，该
3、最小值所对应的权系数矢量为自适应滤波器的最佳权系数，即等于维纳滤波器的权矢量。3.1.3 二次型性能表面的搜索在性能表面上搜索的目的是找出性能函数的最小值，并由此得到最小值所对应的最佳权矢量。这样，二次型性能表面搜索最小值的问题，在数学上就转化为求取曲线和曲面的机制问题。常用的性能表面搜索的方法为梯度下降的迭代算法，例如牛顿法和最速下降法9。1. 最速下降法最速下降法是一种古老而又非常有用的通过迭代寻找极值的方法。从几何意义上讲，迭代调整权矢量的结果是使系统的均方误差延梯度的反方向下降，并最终达到最小均方误差。在最小均方误差实现时，权矢量变为最佳权矢量。它的优点是简单，但需要大量的迭代，才能使
4、算法收敛于充分接近最优解的点。2. 牛顿法牛顿法是一种通过迭代寻找函数的过零点的数学方法，即求的解。假定为变量的一元函数，牛顿法的求解过程为：由初始估值开始，利用的一阶导数在点的值来计算新值，即 (3-7)然后，再利用的导数和来计算下一步的估值，其一般的迭代公式为， (3-8)而这样牛顿法可以表示为， (3-9)要注意的是牛顿法的收敛对一大类函数是相当快的，但它的缺点是计算量大。3.2 最小均方算法3.2.1 最小均方算法最小均方（LMS）算法是一种梯度最速下降算法，它以期望响应和滤波器输出信号之间误差的均方值最小为准则，依据输入信号在迭代过程中估计梯度矢量，并更新权系数达到最优的自适应迭代算
5、法。令 (3-10)LMS算法进行梯度估值的方法是以误差信号每一次迭代的瞬时平方值代替均方值，并以此来估计梯度，即 (3-11)若写成矢量形式，有 (3-12)将式（3-10）代入式(3-11)得到 (3-13)用梯度估值来代替最速下降法中的梯度真值，有 (3-14)式中，为自适应滤波器的收敛因子。上式即为著名的LMS算法滤波器权矢量迭代公式。可以看出，自适应迭代下一时刻的权系数矢量可以由当前时刻的权系数矢量加上以误差函数为比例因子的输入矢量得到。图3.1给出了实现LMS算法的流程图。图3.1 LMS算法的流程图93.2.2 LMS算法性能分析1. LMS算法的收敛性式（3-14）中的收敛因子
6、应满足以下收敛条件 (3-15)式中，为自相关矩阵的最大特征值。由于，因此，上式可以改写为 (3-16)或者 (3-17)式中，为输入信号的功率。通常式(3-17)比式(3-16)常用。因为输入信号的功率比其自相关矩阵的特征值更容易估计。2. 自适应学习曲线若将代价函数式(3-5)中权向量作代换，即 (3-18)并称它为权偏差向量。于是 (3-19)自适应权值的调整过程对系统的输出有影响，假定就表示权固定在时的输出均方误差，则由上式知： (3-20)通常把权值迭代索引器的均方误差由初值到最小值的弛豫过程称为自适应系统的“学习”过程，而把由此产生的均方误差瞬时值变化曲线称为“学习曲线”，它表明了
7、迭代过程中均方误差减小并趋于最小值的变化情况。LMS自适应滤波器自问世以来，受到人们普遍的重视，得到了广泛的应用。这种滤波器的主要优点是收敛性能稳定，且算法比较简单。然而，作为梯度算法的一种，LMS算法有其固有的缺点，首先，这种算法一般来说不能从任意初始点通过最短的路径到达极值点；其次，当输入信号自相关阵R的特性值在数值上分散性较大时，这种方法的性能趋于恶化。3.3 关于LMS算法性能的仿真验证我们结合自适应滤波器的应用来对LMS算法的性能进行仿真验证。仿真（一）：我们使用一阶自回归过程来研究实时数据集平均对LMS算法瞬态特征的影响。考虑一阶AR过程，其差分方程为 (3-21)这里是这个过程的
8、参数，是零均值方差为的白噪声。为了估计参数，我们使用图3.2的一阶自适应预测器，预测器抽头权值的LMS自适应算法形式表示如下 (3-22)其中 (3-23)是预测误差图3.2一阶自适应预测器实验条件为：1）AR参数：=-0.99； 2）AR过程的方差：=0.93627。图3.3为均方预测误差与迭代次数n的关系图，其中=0.05。由图3.1可见，LMS算法单一实现的学习曲线呈现严重噪声的形式。这幅图也包括100次独立实验后集平均得到的的相应图形。LMS算法学习曲线集平均的平滑效应体现的一清二楚。图3.3 LMS算法的学习曲线图3.4是在变步长参数所用的为0.01、0.05、0.1的情况下，LMS
9、算法的学习曲线的图形。而且，集平均在100次独立试验后完成。图3.4 不同步长对LMS算法收敛特性的影响从图3.4可看到如下结果：(1) 当步长参数减小时，LMS算法的收敛率响应减小。(2) 步长参数减小也影响学习曲线的变化。仿真（二）：自适应均衡。用于研究LMS算法性能的自适应均衡系统仿真模型如图2.9所示。仿真时，信道采用升余弦脉冲响应来模拟6： (3-24)该脉冲响应关于对称。参数是一个可调参数，调整可以改变信道性。表3.1给出了自适应均衡器为11抽头,不同对应的特征值分散。信道失真增大，特征值扩散度变大。表3.1 值与特征值分散的对应关系2.93.13.33.50.33260.1852
10、0.12560.05022.01202.05422.72642.59466.025411.325621.021446.21781 信道失真参数（特征值扩散度）对系统的收敛性和稳态性的影响。步长参数固定为=0.075。选择这个值的根据是：必须小于，其中表示相关矩阵R的最大特征值。对于每一个特征值扩散度，经过200次独立实验，通过瞬时均方误差与的关系曲线平均，可获得自适应滤波器集平均学习曲线。这个计算结果如图3.5所示。图3.5 不同特征值扩散度对应的LMS算法的学习曲线由图3.5可见，特征值扩散度变化范围的扩大降低了均衡器的收敛速率，同时也提高了平均平方误差的稳态值。例如，当=6.0254时，自
11、适应滤波器以平方方式收敛大约要80次迭代，收敛后的稳态均方误差也是最小的；另一方面，当=46.2178时（即均衡器输入处在不恰当的条件下），均衡器在均方意义上收敛大约要200次，而且收敛后仍然出现大幅度震荡，迭代500次迭代后的稳态均方误差也也比较大。2 迭代步长对系统的收敛性和稳态性的影响将特征值扩散度固定为11.3256.步长参数分别取为0.075、0.025、0.0075。.图3.6示出计算的结果。与前面一样，每一条学习曲线都是瞬态均方误差与的关系曲线经过200次独立试验后得到的集平均结果。图3.6不同步长参数对应的LMS算法学习曲线这个结果证明了自适应均衡器的收敛速率在很大程度取决于步
12、长参数。当步长参数较大时（如=0.075），均衡器收敛到稳态需要120次迭代。当较小时（如=0.0075），收敛速率降低超过一个数量级。该结果也表明平均均方误差的稳态值随着的变大而增大。以上两个仿真实验充分证明了LMS算法的失调与自适应收敛过程之间存在着矛盾的结论。3.4 LMS算法的改进鉴于传统LMS算法的矛盾，人们对固定步长的LMS算法进行了各种各样的改进10111213。其中最简单的一种改进就是归一化LMS（NLMS）算法3.4.1 归一化LMS算法变步长LMS算法中一个典型的算法就是归一化最小均方误差(NLMS) 算法6，它是针对标准LMS算法的自身矛盾提出的改进，能有效地减小传统LM
13、S算法在收敛过程中对梯度噪声的放大作用，收敛速度也比LMS算法快。变步长的更新公式可以写成： (3-25)式中，表示滤波权矢量迭代更新的调整量。为了达到快速收敛的目的，必须选择合适的变步长的值，一个可能的策略是尽可能多的减小瞬时平方误差，即用瞬时平方误差作为均方误差MSE的简单估计，这也是LMS算法的基本思想。瞬时平方误差可以写成 (3-26)如果滤波权矢量的变化量，则对应的平方误差可以由式(4-22)得到 (3-27)在此情况下，瞬时平方误差的变化量 (3-28)把的关系代入式(4-24)，得到 (3-29)为了增加收敛速度，合适的选取使平方误差最小化，故将式(4-25)对变系数求偏导数，并令其等于零，得 (3-30)这个步长值导致出现负值，这对应于的最小点，相当于平方误差等于零。为了控制失调量，考虑到基于瞬时平方误差的导数不等于均方误差MSE求导数值，所以对LMS算法的更新迭代公式作如下修正： (3-31)式中是一个很小的正常数，为防止过小而引起步长过大，从而导致算法发散。为一固定的收敛因子，。这就是所谓的归一化LMS算法。3.4.2 NVSSLMS算法在NLMS基础上，Zayed Ramadan和Alexander Poularikas提出了一种归一化变步长LMS(NVS
