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1、1、行列式1. n行列式共有n2个元素，展开后有n !项，可分解为2n行列式；2. 代数余子式的性质： 、 A 和 a 的大小无关；ij ij 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0; 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ；3. 代数余子式和余子式的关系： M=（-1）亍+JAA = （-1） i TMijijijij4. 设 n 行列式 D ：将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D，则D =（-1） J D ； 11将D顺时针或逆时针旋转90。，所得行列式为D，则D = （- 1）Fd22将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D，则D = D ； 33将
2、D主副角线翻转后所得行列式为D 则D = D ；445. 行列式的重要公式： 、主对角行列式：主对角元素的乘积； 、副对角行列式：副对角元素的乘积x （-1）冒；其中S为k阶主子式;k 、上、下三角行列式（丨、|= k丨）：主对角元素的乘积;、拉普拉斯展开式：A 0A C=IaIBI、C AC B0 BB 0、范德家行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；、匚|和|丄丨：副对角元素的乘积x （-1） 丁；=(-1)m On Ia II.BB C6.对于n阶行列式Al，恒有： 九 E - a =九 n + (- 1) kS 九 n - k kk=17.证明A = o的方法: 、a = -AI；
3、 、反证法； 、构造齐次方程组Ax = 0，证明其有非零解; 、利用秩，证明r（A） n ； 、证明0是其特征值；2、矩阵1. A是n阶可逆矩阵：o Al工0 （是非奇异矩阵）；o r （A） = n （是满秩矩阵）o A 的行（列）向量组线性无关 o 齐次方程组 Ax = 0 有非零解；o Vb g Rn， Ax = b 总有唯一解；o A与E等价；o A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；o A 的特征值全不为 0 ；o A T A 是正定矩阵；o A的行(列)向量组是Rn的一组基；o A 是 Rn 中某两组基的过渡矩阵；2.对于n阶矩阵A : AA * = A * A = AE无条件恒成立;
4、(A -1)* = (A *) -1(AB )T = BTAT(A-i)T = (At )-1(A*)T = (At )*(AB )* = B * A *(AB ) -1 = B -1A -14. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均 A 、B 可逆:(A1丿丿 ，则：- 1若A = |A2丿亠丿i、aI = A IIaA 1 ；12s( A -11、II、A - =A -1丿2A -1 丿丿A oJA-1 I OB 丿(0 B-1 丿主对角分块)0 -丫0 B-1 IB 0 丿(A-1 0 丿副对角分块)、10拉普拉斯)B-1拉普拉
5、斯)0 )-1 ( A-10 )B j J-B - 1CA -1 B-J3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m x n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：(E 0 )F = r； 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1； 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换) 若(A , E) n (E , X)，则 A 可逆，且 X = A -1 ； 、对矩阵(a, B )做初等行变化，当A变为E时，B就变成A -1B，即：(A, B(E, A-1B)；、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程A
6、x = b，如果(A,b)口 (E, x)，则A可逆,且 x = A -1 b ；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：，例如：1 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列 矩阵；（入1、A=|X 21| ,左乘矩阵A，九乘A的各行元素；右乘，九乘A的各列元1ii川 n素；、对调两行或两列，符号e (i, j)，且E i,j) -1 E (,j)1、-11、1丿倍乘某行或某列符号e ( i ( k)，且E ( i ( k-)手1E （i （，k)例) 如 ：(1 、（1丫1丄1k=k1 丿1（k 丰 0 ；）7倍加某行或某列，符号e (ij (k)，且E (j (k
7、) -1 = E (ij (- k)，如：k-1（1- k、1=1（k 丰 0）1丿、 1丿f 15. 矩阵秩的基本性质： 、0 r (A ) min( m ,n)；m x n 、r (At ) = r (A)； 、若 A B，则 r (A) = r (B)； 、若p、q可逆，则r (A) = r (PA ) = r (AQ ) = r (PAQ )；(可逆矩阵不影响矩阵的秩) 、max( r(A),r(B) r(A,B) r(A) + r(B)；(探 、r(A + B) r(A) + r(B)；(探 、r (AB ) min( r (A), r (B)；(孤 、如果a是m x n矩阵，B是n
8、 x s矩阵，且AB = 0，贝J：( %I、B的列向量全部是齐次方程组AX = 0解(转置运算后的结论)；II、r (A) + r (B) r (A) + r (B) - n ；6. 三种特殊矩阵的方幂：、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)x行矩阵(向量)的形式，再采用 结合律；、型如的矩阵：利用二项展开式；(a + b)n C0an + C an一 b + + C man一mb m + + C n a1 b n + Cnbnnnnnn X1 C m a m b n mnm 0I、III、注：I、(a + b) n展开后有n + 1项;n (n 一 1)Cm 二n(n - m + 1
9、)1D2 03C o C m!(n m)! n组合的性质： C m C nmnnC m C m + C m 1n +1 nnX Cr 2nr0rC r = nC r1nn 1利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：、伴随矩阵的秩：r(A*) “、伴随矩阵的特征值：J (ax九IaIX = X )；九A * Aln-18. 关于 A 矩阵秩的描述： 、r(A) - n，A中有n阶子式不为0, n + 1阶子式全部为0;(两句话) 、r ( A ) n ， A 中有n阶子式不为0;9. 线性方程组：A. b，其中A为m x n矩阵，贝U： 、m与方程的个数相同，即方程组Ax b有m个方程； 、n与方
10、程组得未知数个数相同，方程组Ax - b为n元方程；10. 线性方程组 Ax b 的求解： 、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换)； 、齐次解为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得；11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:ax+ ax+ + ax b11 112 21 n n 1、ax+ax+ +ax b21 12222 n n 2a x +a x + +a x b m 1 1 m 2 2nm n n(aa- ax )f bl 11 121n Il 1 I= b 2=2= ：1 I、 l a21 a22l :1 a 2Ix 2I2n2 ：Il：I II1I
11、I o Ax = b (向量方程， A 为 m x n 矩阵1Ia a m 1m 2II-a八x丿m nmIbmmI 丿n个未知数）m个方程，、f x )1I(a aa )| T = p12n ： I1 1II x丿na x + a x + + a x = P1 1 2 2 n n（全部按列分块线性表出）(b )lb* I其中p1)I b|n有解的充要条件：r（A） = r（A, p） n （n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1- m个n维列向量所组成的向量组A : a ,a ,a构成n x m矩阵A = (a ,a ,a )12m12m（a 、p Tl 1 Im个”维行向量所组成
12、的向量组B : p t , p t，,p t构成m x n矩阵B =卩；12 ml IlI pmTm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. 、向量组的线性相关、无关 。Ax = 0有、无非零解；（齐次线性方程组） 、向量的线性表出。Ax = b是否有解；（线性方程组） 、向量组的相互线性表示o ax = B是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵A 与b行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax = 0和Bx = 0同解;mx nlx n（P 例 14）1014. r(ATA)=r(A)； (P101 例15)5.n维向量线性相关的几何意义:、 a 线性相关o a =0；、 a, p 线性相
13、关 o a, p 坐标成比例或共线（平行）；、a, p ,y线性相关 o a, p ,y共面；6. 线性相关与无关的两套定理： 若a ,a ,a线性相关则a ,a，,a ,a必线性相关；12$12s s + 1若a ,a ,a线性无关，则a, a,., a必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为12s12s-1对偶）若r维向量组A的每个向量上添上n - r个分量，构成n维向量组B :若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的 维数加加减减）简言之:无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为J能由向量组B （个数为s）线性表示，且A线性无关，则r s （二版 P 定理 7） ；74向量组A能由向量组B线性表示，则r(a) r(b);
