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1、椭圆中与面积有关的定点、定值问题狭义的面积问题多指三角形的面积，广义的面积还包括二次量由于二次量的计算量大，过程繁琐，常常会使学生陷入会而不对的绝境解决问题的关键是聚焦运算目标，利用整体代换、设而不求等思想方法，有效减少运算量，优化解题流程.例题：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆y21，点A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆位于第三象限内一点，AP与y轴交于点M，BP与x轴交于点N，求证：四边形AMNB的面积为定值 变式1在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y21，点A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：AN
2、BM为定值变式2如图，已知椭圆y21，过椭圆的上顶点A作一条与两轴均不平行的直线l交椭圆于另一点P，设点P关于x轴的对称点为Q，若直线AP，AQ与x轴交点的横坐标分别为m，n，求证：mn为常数，并求出此常数串讲1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆y21，过原点O的两条射线l1和l2分别与椭圆交于A和B，记得到的AOB的面积为S.(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：S|x1y2x2y1|；(2)设l1与l2的斜率之积为，求面积S的值串讲2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1，点A，B分别是椭圆的左、右顶点，点P为椭圆上位于第一象限内的一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与y
3、轴交于点N，若MOA与NOB的面积之和为6，求点P的坐标(2018无锡1月期末改编)已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，F1，F2分别为左、右焦点，A，B分别为左、右顶点，D为上顶点，原点O到直线BD的距离为.设点P在第一象限，且PBx轴，连接PA交椭圆于点C.(1)求椭圆E的方程；(2)若ABC的面积等于四边形OBPC的面积，求直线PA的方程(2018江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点，焦点F1(，0)，F2(，0)，圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程；(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；直线l与椭圆C交
4、于A，B两点若OAB的面积为，求直线l的方程答案：(1)y21，x2y23；(2)(，1)，yx3.解析：(1)因为椭圆C的焦点为F1(，0)，F2(，0)，可设椭圆C的方程为1(ab0)又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为y21.2分因为圆O的直径为F1F2，所以其方程为x2y23.(2)设直线l与圆O相切于P(x0，y0)(x00，y00)，则x02y023，所以直线l的方程为y(xx0)y0，即yx.5分由消去y，得(4x02y02)x224x0x364y020.(*)，因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以(24x0)24(4x02y02)(364y02)48y02(x0
5、22)0.7分因为x0，y00，所以x0，y01.因此，点P的坐标为(，1).9分因为三角形OAB的面积为.所以ABOP，从而AB.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(*)得x1，2，11分所以AB2(x1x2)2(y1y2)2.因为x02y023，所以AB2，即2x0445x021000，13分解得x02(x0220舍去)，则y02，因此P的坐标为.15分综上，直线l的方程为yx3.16分例题证法1设点P(x0，y0)，则y021(x00，y00)所以，直线PA方程：y(x2)，令x0，得yM.BM.直线PB方程：yx1，令y0，得xN.ANS四边形AMNBANBM2.所以，四边形AM
6、NB的面积为定值证法2设点P(2cos，sin)，因为P在第三象限，所以不妨设，直线PA：y(x2)，令x0，得yM.BM.直线PB：yx1，令y0，xN.AN.S四边形AMNBANBM2.所以，四边形AMNB的面积为定值说明：将四边形面积转化为ANBM，是顺利解题的关键本例可以拓展为一般的情形变式联想变式1答案：ANBN为定值解析：根据例题解析，可知ANBM4.说明：实际上，正是因为ANBM为定值，当P在第三象限时，四边形AMNB为凸四边形，所以才有上述例题，而点P分别在第二、第一、第四象限时，四边形AMNB为凹四边形，其面积依然为定值2，但中学阶段不研究这类图形变式2答案：2.解析：设点P
7、(x0，y0)，则有y021.所以AP方程：yx1，令y0，得m.由题意，点Q与P关于x轴对称，所以Q(x0，y0)，同理得n.所以mn2.所以mn2为常数说明：本题看起来很简单，实际上，点A只要是椭圆上的一个定点，都有mn2的结论，更一般地，对于椭圆1(ab)，有mna2.对于一般的情况，直接运算就有一定难度建议数学能力强的学生直接从一般情况入手研究本题题根来自圆，如图，PQl，那么l垂直平分PQ，所以QAPQOPFOP，由此最终可得EAOAFO，从而OEOFOA2r2.串讲激活串讲1答案：(1)略；(2)1.解析：(1)证明：SOAOBsin，OAOBOA2OB2()2)|x1y2x2y1
8、|.(2)解：设A(2cos，sin)，B(2cos，sin)由l1与l2的斜率之积为.所以，所以coscossinsin0，所以cos()0.又S|x1y2x2y1|cossincossin|sin()|1.所以AOB面积S的值为1.说明：本题用另一种求三角形面积的方法SABACsinA，在解析几何中，求夹角的正弦值需要利用余弦转化，从而需要用到两向量的夹角公式此外，本题也可以用与例题相同的方法求解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2，y1y2)，则直线AB：，令y0，则xx1，所以S|y1y2|x1y2x2y1|.串讲2答案：P.解析：因为点P为椭圆上位于第一象限内的一点，所以
9、设P(x0，y0)(x0，y00)则直线PA方程：y(x2)，令x0，得yM，即M.同理，点N.所以，SMOA，SNOB.所以6，即4y0123x02.所以由于x0，y00，解得即点P.新题在线答案：(1)y21；(2)x2y0.解析：(1)因为椭圆E：1(ab0)的离心率为，所以a22c2，所以bc.所以直线BD的方程是yxb，又O到直线BD的距离为，所以，所以b1，a，所以椭圆E的方程是y21.(2)设P(，t)，t0，那么直线PA方程是y(x)，联立整理得(4t2)x22t2x2t280，解得x，则点C的坐标是.因为ABC的面积等于四边形OBPC的面积，所以AOC的面积等于BPC的面积，而SAOC，SPBCt，所以t，所以直线PA的方程为x2y0.
