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1、等比数列的前n项和教学设计 蒲城县兴镇中学 蔡雯伟一、教材依据以及设计思路 本节内容是高中数学（北师大版必修5）第一章第3节第二课,是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续，与函数等知识有着密切的联系，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养，如在“分期付款”等实际问题中也经常涉及到。本节的内容有助于提升学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间为1课时,重在研究等比数列的前n项和公式的推导及公式的简单应用,
2、教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系.二学情分析。（1）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。（2）教学对象：高二理科班的学生，数学基础较为扎实，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 具有一定的逻辑思维能力和分析、解决问题的能力，但缺乏冷静、深刻，因而思维片面、不够严谨。（3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导方法与等差数列前n项和公式的推导不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特
3、殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。三教学目标作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想数学意识。因此，依据新课程标准及教材内容，结合学生的认知发展水平和心理特点，确定本节课的教学目标如下：1.知识与技能:理解等比数列前n项和公式推导方法；掌握等比数列前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。 2过程与方法：感受公式探求过程所蕴涵的从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，初步提高学生的分析与解决问题的能力。3.情感与态度目标：通过经历对公式的探索过程，对学生进行思维严谨性的训练，激发学生的求知欲。四教学重点,难点教学重
4、点：等比数列前 n项和公式的推导及其简单应用。教学难点：公式的推导思想方法。五教学方法启发式讲解、互动式讨论、研究式探索、反馈式评价。 六 教学准备投影仪，PPT课件七教学过程（一）创设情境，提出问题 在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢？【设计意图】：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性。故事内容也紧扣本节课的主题与重点。（
5、二）师生互动，探究问题问题1：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数的和式 问题2：如何计算出麦粒的总数的数值呢？思路（一）利用计算器（学生思索，发现比较繁琐。）思路（二）类比等差数列的求和进行探索方法的直接类比（学生讨论交流，会发现结构有差异，不能达到目的）规律的类比问题类比等差求和的过程的本质，寻求项与项之间的关系问题3 ：观察式的项与项之间的关系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍，。符合等比数列的定义）问题4: 如果我们把式每一项都乘以公比2，就变成了它的后一项，那么我们若在此等式两边同以2，得到式： 比较两式，你有什么发现？（学生经过比较发现：（1）、（2）两
6、式有许多相同的项（同类项），做差可以相消求出s 的值。）【设计意图】：这几个问题层层深入，先让学生通过具体问题的解决，体验等比数列求和。同时，也为下面的学习作下铺垫，在特殊具体的问题情境中蕴含着一般的规律和方法，激发学生模仿创新，做好认知准备。（三）归纳推理，构建新知这时教师引导学生得到结果，同时指出这种方法就叫做“错位相减法”，并顺势引导学生将结论一般化。问题：如何借鉴刚才的方法求出首项公比的等比数列 的前 项和？ (学生合作学习,讨论交流，老师巡视课堂，并请学生上台板演。)注：学生已有上面问题的处理经验，教师可放手让学生探究。两式作差时，肯定会有学生忽略的情况 ，可让学生自我检测，教师再做
7、以强调【设计意图】：在教师的引导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的成就感。增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。问题:类比等差数列的前项和的两种形式，如何利用等比数列的通项公式 ,把 用 表示出来呢？（学生探究交流，得出公式的另一形式）教师讲解：公式的理解 公式推导的方法：错位相减法公式的结构特征：（分 类讨论思想） 公示的基本应用：（方 程 思 想）【设计意图】：使学生加深对知识的认识，完善知识结构。（四）反馈练习，师生共同评价。练习1：在等比数列an中， (1)已知a13，q2，n6，求Sn； (2)已知a1=8，q=1/2，an=1/2，求
8、Sn； (3)已知a1=1.5，a4=96，求S4；【设计意图】：通过公式的简单应用，巩固公式，体会方程思想。练习2：等比数列an中，已知a33/2，S39/2，求a1与q。【设计意图】：体会公式中的分类讨论思想。练习3：求等比数列从第3项到第7项之和为？【设计意图】：体会题目解法的多样性，灵活应用公式解决问题（五）总结归纳，加深理解问题7:这节课你有什么收获？ （学生小结归纳，不足之处老师补充说明。）1数学公式：等比数列前n项和公式2数学方法：错位相减法3数学思想：分类讨论思想,方程思想【设计意图】：以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，以此培养学生的归纳概括能力。
9、（六）故事结束，首尾呼应最后我们回到故事中的问题，通过相关数据（每千粒小麦平均40克）和今年我国的小麦总产量的预测比较。【设计意图】：把引入课题时的悬念彻底给予释疑，感受“指数爆炸”，激发学生学习的兴趣。同时也能体现数学文化与时代感的结合。（七）。课后作业，分层巩固。（1）预习下一节内容；体会数列建模的思想(2) 书面作业： 习题P30 8 .B 3(3)课外探究 ：求数列1,2x,3x2,4x3,.的前n项的和：【设计意图】：注意分层教学和因人施教，给学有余力的学生留有思考的空间。（八）开拓视野，鼓励探究。教师给出等比数列的前N项和的另外几种做法，开拓学生的学习视野。问题8:对于等比数列前n
10、项的求和，大家下去可以借助网络，资料，或者自行合作探究，看看还有没有其他的方法分享给大家呢？ 【设计意图】：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围. 使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力八 ：课后反思 和课本所给实际背景相比，我所选的案例故事虽然时代感不强，但作为学生比较熟知，却不知结果到底如何，因此更有吸引学生探究学习的特点。 在探究等比数列求和的时候，始终引导学生采用类比的学习方法，进行分析，寻求结构的差异，理解方法的本质，利于在温故中知新。 学生在自我探究学习的时候，由于自身知识积累的差距，思维的严密性不够用，因此容易出现对问题的分析不够全面的现象。我根据学生在实际探究中的程度适时的予以质疑，引导，使得学生明确了自己的问题所在。 课堂收尾时以最新的我国小麦年产量为数据参考，不仅首尾呼应，让学生真正感受到“指数爆炸”的特点，而且也对学生的社会了解，爱国主义有一定的作用。 当然，在具体的课堂实施时也出现了一些问题，有些学生早早借助预习，思维已经固定在课本的模式，不能很好的发挥个人的思维。在练习的时候，个别学生由于数学运算能力不是很过关，也延迟了课堂教学的时间。
