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1、平行线判定和性质一、重点和难点：重点：平行线的概念、平行公理、平行线的判定和平行线的性质。难点：平行线的性质与平行线的判定的区分掌握推理论证的格式。、例题：这部分内容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、内错角或同旁内角。解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念，关键是把握住这些角的基本图形特征，有时还需添加必要的辅助线，用以突出基本图形的特征。上述类型题目大致可分为两大类。一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。其方法是“由线定角”即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。另一类题目主要是“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此
2、类题目必须要掌握好平行线的判定方法。例1已知如图，指出下列推理中的错误，并加以改正。(1) VZ1和Z2是内错角，.Z1=Z2,(2)TAD/BC,Z1=Z2(两直线平行，内错角相等)(3)TZ1=Z2,/.AB/CD(两直线平行，内错角相等)分析：根据“三线八角”的概念，对(1)，(2)可从内错角的条件入手；对(3)考虑平行线的判定和性质。解：(1)因为没有直线CD/AB的条件，不能得出内错角Z1，Z2相等的结论。(2) 因为Z1，Z2不是AD，BC被AC所截得的内错角，所以得不出Z1=Z2的结论，应改为：.CD/AB,.Z1=Z2（两直线平行，内错角相等）（3）理由填错了，应改为：*/Zl
3、=Z2,CD/AB（内错角相等，两直线平行）例2.如图，Z1=Z2,Z3=Z4,试向EF是否与GH平行？分析：要判断EF与GH是否平行，只要能找到与EF，GH有关的一对角（同位，内错，同旁内角都可以）相等或互补即可。解：VZ1=Z2（已知）又VZCGE=Z2（对顶角相等）AZ1=ZCGE（等量代换）又VZ3=Z4（已知）AZ3+Z1=Z4+ZCGE（等量加等量，其和相等）即ZMEF=ZEGH,EF/GH（同位角相等，两直线平行）。说明：本题解答过程就是一种推理过程，每一步因果关系分明。由因导果的依据在式子后面的括号内写明了。此题属于平行线判定类型。例3.如图写出能使AB/CD成立的各种题设。分
4、析：应先找和AB,CD这二条直线有关的第三条截线所组成的“三线八角”来判定AB/CD。解：使AB/CD成立的题设有：（1）根据同位角相等，判定两直线平行有：ZEAB=ZEDC,ZFDC=ZFAB（2）根据内错角相等，判定两直线平行有：Z3=Z4或Z7=Z8。（3）根据同旁内角互补，判定两直线平行有：ZBAD+ZADC=180或ZABC+ZBCD=180。例4.已知如图，AB/CD,Z1=Z3,求证：AC/BD。AB72_73分析：因为本题是判定两条直线平行的，应选用平行线的判定，应从给定的条件中去寻找角的关系，因为AB/CD，所以可知Z1=Z2,又因为Z1=Z3，可推出Z2=Z3,能判定AB与
5、CD平行。证明：.AB/CD（已知）.Z1=Z2（两直线平行内错角相等）又VZ1=Z3（已知）.Z2=Z3（等量代换）.AC/BD（同位角相等，两直线平行）。例5.已知如图，AB/CD,AC/BD,求证：Z1=Z3。分析：因为Z1和Z3的位置不能构成同位角或内错角，也不是同旁内角，因此不可能利用题设中的平行直线关系，经过一次推理得到结论。由图形中Z1与Z2是内错角位置。而Z2与Z3是同位角位置，而Z1与Z3都与Z2有关，由已知条件中AB/CD,推出Z1=Z2,AC/BD又推出Z2=Z3O通过等角进行转化。证明：.AB/CD（已知）AZ1=Z2（两直线平行内错角相等）又VAC/BD（已知）AZ2
6、=Z3（两直线平行，同位角相等）/.Z1=Z3（等量代换）例6.已知如图Z1=Z2，BD平分ZABC，求证：AB/CDBD平分ZABC。证明：VBD平分ZABC（已知）AZ2=Z3（角平分线定义）VZ1=Z2（已知）/.Z1=Z3（等量代换）.AB/CD（内错角相等两直线平行）。例7.已知如图，AB/CD,Z1=Z2，求证:证明：.AB/CD（已知）Z.Z1=Z3（两直线平行内错角相等）又VZ1=Z2（已知）.Z2=Z3（等量代换）BD平分ZABC（角平分线定义）说明：上面的例4和例5，例6和例7都是同一个图形中将已知条件和求证的结论适当调换，可培养灵活运用知识的能力。例8.已知如图，Z1+Z
7、2=180,ZA=ZC,AD平分ZBDF,求证：BC平分ZDBE。分析：只要求得ZEBC=ZCBD,由Z1+Z2=180推出Z1=ZBDC,从而推出AE/FC,从而推出ZC=ZEBC而ZC=ZA于是可得ZA=ZEBC。因此又可得AD/BC,最后再运用平行线性质和已知条件便可推出ZEBC=ZDBC。证明：Z2+ZBDC=180（平角定义）又VZ2+Z1=180（已知）.ZBDC=Z1（同角的补角相等）.AE/FC（同位角相等两直线平行）.ZEBC=ZC（两直线平行内错角相等）又VZA=ZC（已知）.ZEBC=ZA（等量代换）.AD/BC（同位角相等，两直线平行）.ZADB=ZCBD（两直线平行，
8、内错角相等）ZADF=ZC（两直线平行，同位角相等）又VDA平分ZBDF（已知）.ZADB=ZADF（角平分线定义）AZEBC=ZDBC（等量代换）BC平分ZDBE（角平分线定义）说明：这道题反复应用平行线的判定和性质，这是以后在证题过程中经常使用的方法，见到“平行”应想到有关的角相等，见到有关的角相等，就应想到能否判断直线间的平行关系。把平行线的判定与性质紧密地结合在一起也就是使直线平行和角相等联系在一起，这样解题能得心应手，灵活自如。例9.如图，已知直线a,b,c被直线d所截，若Z1=Z2,Z2+Z3=180,求证：Z1=Z7分析：运用综合法，证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行
9、，然后再由两直线平行解决其它角的关系。Z1与Z7是直线a和c被d所截得的同位角。须证a/c。法（一）证明：Vd是直线（已知）AZ1+Z4=180（平角定义）VZ2+Z3=180,Z1=Z2（已知）.Z3=Z4（等角的补角相等）Aa/c（同位角相等，两直线平行）AZ1=Z7（两直线平行，同位角相等）法（二）证明：/Z2+Z3=180，Z1=Z2（已知）AZ1+Z3=180（等量代换）VZ5=Z1，Z6=Z3（对顶角相等）AZ5+Z6=180（等量代换）.a/c（同旁内角互补，两直线平行）AZ1=Z7（两直线平行，同位角相等）。、证明角相等的基本方法1、第一章、第二章中已学过的关于两个角相等的命题
10、：（1）同角（或等角）的余角相等；（2）同角（或等角）的补角相等；（3）对顶角相等；（4）两直线平行，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补。以上四个命题是我们目前论证两个角相等的武器，但是何时用这些武器，用什么武器，怎样使用，这是遇到的一个具体问题，需要认真进行分析。首先必须分析，在题设中给出了哪些条件与其相关的图形是什么！其次再分析一下要证明的两个角在图形的具体位置，与已知条件有什么关联，怎样运用一次推理或几个一次推理的组合而来完成题设到结论的过渡。例10,如图Zl=Z2=ZC,求证ZB=ZCo分析：题设中给出三个相等的角，其中Z2和ZC是直线DE和BC被AC所截构成的同位角，由Z2=ZC则
11、DE/BC。再看题中要证明的结论是ZB=ZC，由于ZC=Z1，所以只要证明Z1=ZB，而Z1与ZB是两条平行直线DE，BC被直线AB所截构成的同位角，Z1=ZB是很显然的，这样我们就理顺了从已知到求证的途径：Z1=ZC证明：Z2=ZC（已知），.DE/BC（同位角相等，两直线平行），Z1=ZB（两直线平行，同位角相等），又VZ1=ZC（已知），/.ZB=ZC（等量代换）。例11、已知如图，AB/CD,AD/BC,求证：ZA=ZC,ZB=ZD。分析：要证明ZA=ZC,ZB=ZD,从这四个角在图中的位置来看，每一组既不构成同位角，也不是内错角或同旁内角，由此不可能利用题设中的平行关系，经过一次推理
12、得到结论，仍然如同例10样通过等角进行转化，从题设条件出发，由AB/CD,且AB与CD被直线BC所截，构成了一对同旁内角，ZB、ZC,因此ZB+ZC=180o,同时ZB又是另一对平行线AD、BC被直线AB所截，构成的一对同旁内角ZB、ZA,ZB+ZA=180o,通过ZB的中介，就可以证明得ZA=ZC。同理，也可得到ZB=ZD,整个思路为：=ZCAB/CDZB+ZC=18001+ZA=180证明：AD/BC（已知），.ZA+ZB=180o（两直线平行，同旁内角互补），VAB/CD（已知）,.ZB+ZC=180o（两直线平行，同旁内角互补），ZA=ZC（同角的补角相等），同理可证ZB=ZDo例12
13、、已知如图，AD丄BC于D,EG丄BC于G,ZE=Z3,求证：Z1=Z2。分析：要证明Z1=Z2,而从图中所示的Z1和Z2的位置来看，根据题设或学过的定义、公理、定理无法直接证明这两个角相等，因我们可将视野再拓广一下，寻找一下Z1、Z2与周边各角的关系，我们看到直线AD与GE被直线AE所截，形成同位角Z1、ZE；被AB所截，形成内错角Z2、Z3；而题设明确告诉我们Z3=ZE，于是目标集中到证明AD/GE，根据题设中AD丄BC,EG丄BC，我们很容易办到这一点，总结一下思路，就可以得到以下推理程序:严1=AD/fEGZ2=Z3lZl=Z2EGVBCZ3=Z=证明：JAD丄BC于D（已知）,:.Z
14、ADC=90o（垂直定义），/EG丄BC于G（已知）,.ZEGD=90o（垂直定义），.ZADC=ZEGD（等量代换）,.EG/AD（同位角相等，两直线平行）.Z1=ZE（两直线平行同位角相等），Z2=Z3（两直线平行内错角相等），又TZE=Z3（已知）,/.z1=Z2（等量代换）。四、两条直线位置关系的论证。两条直线位置关系的论证包括：证明两条直线平行，证明两条直线垂直，证明三点在同一直线上。1、学过证明两条直线平行的方法有两大类（一）利用角；（1）同位角相等，两条直线平行；（2）内错角相等，两条直线平行；（3）同旁内角互补，两条直线平行。（二）利用直线间位置关系：（1）平行于同一条直线的两
15、条直线平行；*（2）垂直于同一条直线的两条直线平行。例13、女口图，已知BE/CF,Z1=Z2,求证：AB/CD。分析：要证明AB/CD,由图中角的位置可看出AB与CD被BC所截得一对内错角ZABC和ZDCB，只要证明这对内错角相等，而图中的直线位置关系显示，ZABC=Zl+ZEBC,ZBCD=Z2+ZFCB,条件中又已知Z1=Z2，于是只要证明ZEBC=ZBCF。/证明：JBE/CF（已知），.ZEBC=ZFCB（两直线平行，内错角相等）JZ1=Z2（已知），/.Z1+ZEBC=Z2+FCB（等量加等量其和相等），即ZABC=ZBCD（等式性质），.AB/CD（内错角相等，两直线平行）。例14、如图CD丄AB,EF丄AB,Z1=Z2,求证：DG/
