灰色系统预测方法

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1、 第六章灰色系统模型6.引言（五步建模思想）研究一个系统，一般应首先建立系统的数学模型，进而对系统的整体功能、协调功能以及系统各因素之间的关联关系、因果关系、动态关系进行具体的量化研究。这种研究必须以定性分析为先导，定量与定性紧密结合。系统模型的建立，一般要经历思想开发、因素分析、量化、动态化、优化五个步骤，故称为五步建模。第一步：开发思想，形成概念，通过定性分析、研究，明确研究的方向、目标、途径、措施，并将结果用准确简练的语言加以表达，这便是语言模型。第二步：对语言模型中的因素及各因素之间的关系进行剖析，找出影响事物发展的前因、后果，并将这种因果关系用框图表示出来（见图6.）。环节后果Y前因

2、X1X2X3环节后果前因YX(a) (b) 图6.一对前因后果（或一组前因与一个后果）构成一个环节。一个系统包含许多这样的环节。有时，同一个量既是一个环节的前因，又是另一个环节的后果，将所有这些关系连接起来，便得到一个相互关联的、由多个环节构成的框图（如图6.所示），即为网络模型。环节环节环节环节环节图6.第三步：对各环节的因果关系进行量化研究，初步得出低层次的概略量化关系，即为量化模型。第四步：进一步收集各环节输入数据和输出数据，利用所得数据序列，建立动态GM模型，即动态模型。动态模型是高层次的量化模型，它更为深刻地揭示出输入与输出之间的数量关系或转换规律，是系统分析、优化的基础。第五步：对

3、动态模型进行系统研究和分析，通过结构、机理、参数的调整，进行系统重组，达到优化配置、改善系统动态品质的目的。这样得到的模型，称之为优化模型。五步建模的全过程，是在五个不同阶段建立五种模型的过程：语言模型网络模型量化模型动态模型 优化模型在建模过程中，要不断地将下一阶段中所得的结果回馈，经过多次循环往复，使整个模型逐步趋于完善。 6.2 GM(1,1)模型 定义6.2.1 设 ， 称 （6.2.1）为GM(1,1)模型的原始形式。符号GM(1,1)的含义如下：GM(1,1)Grey(灰色)Model(模型)1阶方程个变量定义6.2.2 设如定义6.2.1所示,其中称（6.2.2）为GM(1,1)

4、模型的基本形式。定理6.2.1设为非负序列：其中；为的1AGO序列：其中，；为的紧邻均值生成序列：其中，。若为参数列，且，（6.2.3）则GM(1,1)模型的最小二乘估计参数列满足证明将数据代入GM(1,1)模型，得 此即对于a,b的一对估计值，以代替，可得误差序列设=使s最小的a,b 应满足从而解得：由得，但=所以定义6.2.3设为非负序列，为的1AGO序列，为的紧邻均值生成序列，则称： 为GM(1,1)模型的白化方程，也叫影子方程。定理6.2.2 设如定理6.2.1所述，则白化方程的解也称时间响应函数为 （6.2.6）GM(1,1)模型的时间响应序列为； （6.2.7）还原值 =； （6.

5、2.8）定义6.2.4 称GM(1,1)模型中的参数为发展系数，b为灰色作用量。反映了及的发展态势。一般情况下，系统作用量应是外生的或者前定的，而GM(1,1)是单序列建模，只用到系统的行为序列（或称输出序列、背景值），而无外作用序列（或称输入序列、驱动量）。GM(1,1)模型中的灰色作用量是从背景值挖掘出来的数据，它反映数据变化的关系，其确切内涵是灰的。灰色作用量是内涵外延化的具体体现，它的存在，是区别灰色建模与一般输入输出建模（黑箱建模）的分水岭，也是区别灰色系统观点与灰箱观点的重要标志。定理6.2.3 GM(1,1)模型 可以转化为 （6.2.9）其中，证明 将代入，得 = =所以定理6

6、.2.4 设，且为GM(1,1)模型时间响应序列，其中 ； 则 （6.2.10）证明 由定理6.2.3代入的响应值，有=但所以 例6.2.1 设原始序列 =试用下列三种GM(1,1)模型对进行模拟，并比较其模拟精度：解 第一步：对作1AGO，得 =第二步：对作准光滑性检验。由 得0.5，3时准光滑条件满足。第三步：检验是否具有准指数规律。由 得当k3时，准指数规律满足，故可对建立GM(1,1)模型。第四步：对作紧邻均值生成。令 得 =于是 ，第五步：对参数列进行最小二乘估计。得第六步：确定模型 及时间响应式=第七步：求的模拟值 =第八步：还原求出的模拟值。由得 =第九步：检验误差。由表6.2.

7、1可算出残差平方和 =,=0.01511平均相对误差 表6.2.1 误差检验表序 号 实际数据 模拟数据 残 差相对误差2 3.278 3.230 0.04601.40% 3 3.337 3.3545 0.01750.52% 4 3.390 3.4817 0.09172.71% 5 3.679 3.6136 0.06541.78%由知，所以于是得。所以作误差检验：由表6.2.2可得残差平方和 =0.0156 表6.2.2 误差检验表序 号 实际数据 模拟数据 残 差相对误差2 3.278 3.2324 0.04561.39% 3 3.337 3.3567 0.01970.59% 4 3.390

8、 3.4820 0.0922.71% 5 3.679 3.6105 0.06851.86%平均相对误差由，知，所以= 故 表6.2.3 误差检验表序 号 实际数据 模拟数据 残 差相对误差2 3.278 3.2324 0.04561.39% 3 3.337 3.3549 0.01790.54% 4 3.390 3.4821 0.09212.72% 5 3.679 3.6141 0.06491.76% 由表6.2.3可算出残差平方和 =0.01509由三种模型的残差平方和与平均相对误差可以看出:指数模型和 精度较高,差分模型精度稍低一些。定理6.2.5 若为准光滑序列，则其GM(1,1)发展系数

9、可表示为 （6.2.11）其中 证明 由，得 所以=由定理6.2.5可知，当b有限，足够大时，GM(1,1)发展系数主要取决于光滑比 6.3残差GM(1,1)模型当GM(1,1)模型的精度不符合要求时，可用残差序列建立GM(1,1)模型，对原来的模型进行修正，以提高精度。定义6.3.1 设为原始序列，为的1AGO序列，GM(1,1) 模型的时间响应式 则称 （6.3.1）为导数还原值。命题6.3.1 设为导数还原值。 为累减还原值。则 证明： =因为 所以 故 由命题6.3.1可以看出，GM(1,1) 模型既不是微分方程，也不是差分方程。但当 充分小时，有。这说明微分与差分的结果十分接近。因此

10、GM(1,1) 模型既可以看成微分方程，又可以看成差分方程。鉴于导数还原值与累减还原值不一致，为减少往复运算造成的误差，往往用的残差修正的模拟值。定义6.3.2 设 其中为的残差序列。若存在满足，的符号一致；，则称 为可建模残差尾段，仍记为命题6.3.2 设 为可建模残差尾段，其1AGO序列 的GM(1,1)的时间响应式为 ，则残差尾段的模拟序列 其中 ， 定义6.3.3 若用修正我们称修正后的时间响应式： （6.3.3） 为残差修正GM(1,1)模型，简称残差GM(1,1)。其中残差修正值的符号应与残差尾段的符号保持一致。若用与的残差尾段 建模修正的模拟值，则根据由的到的不同还原方式，可得到不同的残差修正时间响应式。定义6.3.4 若 =则相应的残差修正时间响应式 （6.3.4）称为累减还原式的残差修正模型。定义6.3.5 若，则相应的残差修正时间响应式 （6.3.5）称为导数还原式的残差修正模型。上