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1、课程编号：07000048 北京理工大学20062007学年第二学期2005级复变函数与积分变换试题A卷参考答案与评分标准一 (6) 求下列复数的值。(1) 解：原式 3(2) 解：原式 3二 (10) (1) 求区域在映射下的像，并作出其映射过程的图形。解：该映射可分解为而区域是以i为心、1为半径的圆盘，经平移后得到在平面的象为圆盘，然后伸长2倍得到在w平面的象为圆盘。2v1yw1=z-i1vuio ow=2w1u1ox2o 5(2) 判别函数在复平面上哪些点处可导，哪些点处解析。解：设，则 1若在处可导，则由Cauchy-Riemann方程得 2即得 3故仅在直线上可导，从而在复平面上处处
2、不解析。 5三 (10) 设函数在区域内解析，其中为二元实函数，并且，试证：在区域内是一个常数。证明：由在区域内解析得 (1) 4又，两边分别对求偏导数得 (2) 6将(2)代入(1)得故 再由(1)、(2)得 8所以(为实常数)，从而在区域内是一个常数。10四 (10) 证明为调和函数，并求满足条件的解析函数。(1) 证明：由于的四个二阶偏导数 2在整个复平面上连续，并且满足Laplace方程所以为整个复平面上的调和函数。 4(2) 解：方法一由Cauchy-Riemann条件得 6对积分得 7两边对求导，并且与比较得 于是得 (为实常数) 故 8从而 9又，所以，于是所求解析函数。 10
3、方法二由Cauchy-Riemann方程和解析函数的求导公式可得，由构成的解析函数的导数 7于是 9其中为任意实常数。又，所以，从而所求解析函数。 10五 (48) 计算下列积分：(1) ，其中为I)从点到的直线段；II)正向圆周的上半圆周。解：I) 当路径为从点到的直线段时，其参数方程为， 1则 4II) 当路径为圆周的上半圆周时，其参数方程为 ， 1则 4(2) 解：由于在整个复平面上解析，则 5(3) 3 5(4) ，其中为。解： 2 4 5(5) 4 5(6) 2 4 5(7) 3 5 (8) 2 4 5 (9)解：在圆周所围成的区域内除了本性奇点外均解析，它在的Laurent级数展开式为 2则 3于是由留数定理得 5六 (16) 求函数分别在(1) 处的Taylor级数展开式及其收敛半径；(2) 环域内的Laurent级数展开式；(3) 环域内的Laurent级数展开式；(4) 环域内的Laurent级数展开式。解：(1) 的不解析点为和，故它在点的Taylor级数收敛半径，从而它在点的Taylor级数展开式为 () 1 2 () 4(2) 在环域内的Laurent级数展开式为 2 4(3) 在环域内的Laurent级数展开式为 2 4(4) 在环域内的Laurent级数展开式为 1 3 47
