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1、高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(y ax)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)2、分段函数不是初等函数。23、无穷小：高阶+低阶=低阶limx例如:lim x xx 04、两个重要极限:(1)lim 匹x 0 xxmlimx经验公式：当xxo, f ( x)O,g(x)，limX xog(x)f (x)lim f (x)g (x)x xo如moHx3Xmon Xe5、可导必定连续,连续未必可导例如:| x|连续但不可导。6、导数的定义:lim f(xx)f(x)x 0xf(x)lim f(x)f(xo
2、)x x0f X。xXo7、复合函数求导:df g(x)dxf g(x) ?g(x), _ 1例如：y x . x, y12 x2 x x4 x2 x x8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出 dy/dxx2y21例如：解：法(1),左右两边同时求导,2x2yy 0yxy法(2),左右两边同时微分,2xdx2ydydyxdxy9、由参数方程所确定的函数求导：若yg(t)则鱼dy/dt四，其二阶导数:xh(t)dxdx/dth(t)d(dy/dx) d g(t)/h(t)2d y d dy/dxdtdt2dxdxdx/dth(t)0、微分的近似计算：f(x0 x) f(
3、x0)x? f (x0)例如：计算 sin3、函数间断点的类型：sin x()第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：y s(x=0x是函数可去间断点)y sgn(x) (x=0是函数的跳跃间断点)(2)第二类：振荡间断点11和无穷间断点；例如：f (x) sin (x=0是函数的振荡间断点)，y (x=0是函xx数的无穷间断点)2、渐近线:水平渐近线：y |im f (x) c铅直渐近线：若,lim f (x)，则x a是铅直渐近线.x a斜渐近线：设斜渐近线为y ax b,即求a lim f(x),b lim f (x) axx x x32例如：求函数y x一笃 J的渐近线3 ),对于任意
4、x u(x0, S ),3、驻点：令函数 y=f(x)，若f(xO)=O ，称x0是驻点4、极值点：令函数 y=f(x)，给定x0的一个小邻域u(xO,都有f(x) f(x0),称x0是f(x)的极小值点；否则，称x0是f(x)的极大值点。极小值点与极大值点统称极值点5、拐点：连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。6、拐点的判定定理： 令函数 y=f(x),若 f(x0)=0 ,且 x0; xx0 时，f(x)0或 xx0,f(x)x0 时，f(x)0 ，称点(x0 , f(x0)为 f(x)的拐点。7、极值点的必要条件：令函数y=f(x)，在点x0处可导，且x0是极值点，则
5、f(xO)=O8、改变单调性的点：f(x。) 0 , f(x。)不存在，间断点(换句话说，极值点可能是 驻点，也可能是不可导点)9、改变凹凸性的点：f(xo) 0 , f(xo)不存在(换句话说，拐点可能是二阶导数等于零的点，也可能是二阶导数不存在的点)20、可导函数f(x)的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点21、中值定理:，使得(1) 罗尔定理：f (x)在a,b上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点f( ) 0拉格朗日中值定理：f(x)在a,b上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点，使得 f(b) f(a) (b a)f()积分中值定理：f (x)在区间a,b上可积，至少存
6、在一点，使得bf (x)dx (b a) f ()a22、常用的等价无穷小代换:x sin x arcsinx arctanx tanx ex1 21 cosx x21 3tanx sinx x ,x212(J x 1) ln(1x)1 3sinx x6,ta nx23、对数求导法：例如，yxX，解:ln y xln x1y ln x y1yxx ln x 124、洛必达法则：适用于“ 00”型，“一一 ”型，“0?”型等。当xxu, f (x)0/ ,g(x)0/f(x),g(x)皆存在，且g(x)0，则lim f(x)limX x0 g(x)x x0f(x) g(x)例如，xxx22cos
7、x2xe sinx 1 u e lim 2limx 0 x20 x 0e sinxp!im25、无穷大：高阶+低阶=高阶 例如,limx22x2x5limx26、不定积分的求法(1) 公式法(2) 第一类换元法(凑微分法)(3) 第二类换元法：哪里复杂换哪里，常用的换元：1)三角换元：,a2 x2，可令x asi nt ； . x2 a2，可令 x ata nt ； x2 a2，可令 x asect 2)当有理分式函1数中分母的阶较高时，常采用倒代换x 1t27、分部积分法： udv uv vdu，选取u的规则反对幂指三”，剩下的作v。分部积分出现循环形式的情况，例如：excosxdx, sec xdx
