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1、习 题 一1. 设为的任一特征值,则因 为AO 的特征值, 故. 即=0或2.2. AB, CD时, 分别存在可逆矩阵P和Q, 使得 PAP=B, QCQ=D.令 T=则 T是可逆矩阵,且 TT=3. 设是对应于特征值的特征向量, 则 A=, 用左乘得 .即 故 是A的特征值, i=1,2,n.4. (1) 可以. =, , . (2) 不可以.(3) , .5. (1) A的特征值是0, 1, 2. 故=(ba)=0. 从而 b=a.又 =将=1, 2 代入上式求得 A=0.(2) P =.6. =, A有特征值 2, 2, 1.=2所对应的方程组 (2IA)x=0 有解向量p=, p=1所
2、对应的方程组 (I+A)x=0 有解向量p=令 P=(ppp)=, 则 P=. 于是有 A=PP=.7 (1)=D(), IA有2阶子式 =44不是D()的因子, 所以D()=D()=1, A的初等因子为1, . A的Jordan标准形为J = 设A的相似变换矩阵为P=(p,p,p), 则由AP=PJ得解出P=;(2) 因为 ，故AJ=设变换矩阵为 P=(), 则 P=(3) .A的不变因子是 AJ= 因为A可对角化，可分别求出特征值1，2所对应的三个线性无关的特征向量：当=1时，解方程组 求得两个线性无关的特征向量 当=2时，解方程组 得 , P=(4) 因, 故AJ=设变换矩阵为P=, 则
3、 是线性方程组 的解向量，此方程仴的一般解形为p=取 , 为求滿足方程 的解向量, 再取 根据由此可得 s=t, 从而向量 的坐标应満足方程取 , 最后得P=.8. 设 f ()=. A的最小多项式为 ,作带余除法得 f ()=(),+, 于是f (A)=.9. A的最小多项式为 , 设 f ()=,则f ()=+. 于是 f (A)=.由此求出f (A)=10. (1) IA=标准形, A的最小多项式为 ;2) ;(3) .11. 将方程组写成矩阵形式: , , , A=则有 J=PAP=, .其中 P=.令 x=Py, 将原方程组改写成 : 则解此方程组得: y=Ce+CTe, y=Ce,
4、 y=Ce. 于是x=Py=.12. (1) A是实对称矩阵. =,A有特征值 10, 2, 2.当=10时. 对应的齐次线性方程组 (10IA)x=0的系数矩阵 由此求出特征向量p=(1, 2, 2), 单位化后得 e= ().当=1时, 对应的齐次线性方程组 (IA)x=0的系数矩阵由此求出特征向量 p=(2, 1, 0), p=(2, 0, 1). 单位化后得 e=(),e=(). 令U=, 则 UAU=.(2) A是Hermit矩阵. 同理可求出相似变换矩阵U=, UAU=.13. 若A是Hermit正定矩阵,则由定理1.24可知存在n阶酉矩阵U, 使得UAU=, 0, I=1, 2,
5、 n.于是A=UU = UUUU令B=UU则 A=B.反之,当 A=B且B是Hermit正定矩阵时,则因Hermit 正定矩阵的乘积仍为Hermit正定矩阵,故A是Hermit 正定的.14. (1)(2). 因A是Hermit矩阵,则存在酉矩阵U,使得UAU=diag()令x=Uy, 其中 y=e. 则 x0. 于是xAx=y(UAU)y=0 (k=1, 2, n).(2)(3). A=Udiag()U=Udiag()diag()U令 P=diag()U, 则 A=PP .(3)(1). 任取x0, 有xAx=xPPx=0.习 题 二1. =7+, =,=max=4.2. 当 x0时, 有
6、0; 当 x0时, 显然有 =0. 对任意C, 有=.为证明三角不等式成立,先证明Minkowski不等式:设 1p, 则对任意实数 x,y(k=1, 2, n)有证 当 p=1时，此不等式显然成立. 下设 p1, 则有对上式右边的每一个加式分别使用Hlder不等式, 并由 (p1)q=p, 得=再用 除上式两边,即得 Minkowski 不等式.现设任意 y=()C, 则有=.3. (1) 函数的非负性与齐次性是显然的,我们只证三角不等式.利用最大函数的等价定义:max(A, B)=max(max()=max( )+max( )(2) 只证三角不等式.k+kk+k+k+k=( k+k)+(
7、k+k) .4. ; ;列和范数(最大列模和)=;=行和范数(最大行模和)=9 ; 5. 非负性: AO时SASO, 于是 0. A=O时, 显然 =0;齐次性: 设C, 则 =;三角不等式: ;相容性: =.6. 因为IO, 所以0.从而利用矩阵范数的相容性得:,即1.7. 设 A=(A)C, x=C, 且 A=, 则 =nA=; = =AnA=.8. 非负性与齐次性是显然的, 我们先证三角不等式和相容性成立. A=(a), B=(b)C,C=(c)C且 A=, B=, C=. 则=maxm,nmaxm ,n maxm ,n (A+B)=maxm ,n A+maxm ,n B=;=maxm
8、,l maxm ,n maxm ,n (Minkowski不等式)=maxm ,n nACmaxm ,n maxn ,l AC=.下证与相应的向量范数的相容性.设 x=C, d=, 则有=nAmaxm ,nA=;= (Hlder不等式)=Amaxm ,nA=;=nADmaxm,nAD=.9. 只证范数的相容性公理及与向量2范数的相容性. 设 A=(a)C, B=(b)C,x=C且 A=, B=, 则 (Minkowski不等式)nab=. （Hlder不等式） =A =. 10. 利用定理2.12得.11. A=cond(A)=; cond(A)=.12设x是对应于的特征向量, 则A.又设 是
9、C上与矩阵范数相容的向量范数,那么因 0, 故由上式可得 .习 题 三1. , 当1时, 根据定理3.3, A为收敛矩阵.2. 令S=, =S , 则.反例: 设 A=, 则因 发散, 故 发散, 但 =O.3. 设 A=, 则 行和范数=0.91, 根据定理3.7,=(IA)=.4. 我们用用两种方法求矩阵函数e:相似对角化法. , 当 ia时, 解方程组 (iaA)x=0, 得解向量 p=(i, 1).当 =ia时, 解方程组 (ia+A)x=0, 得解向量 p=(i, 1).令P=, 则P=, 于是e=PP=.利用待定系数法. 设e=(+a)q()+r(), 且 r()=b+b, 则由b
10、=cosa , b=sina .于是e=bI+bA=cosa+sina=.后一求法显然比前一种方法更简便, 以后我们多用待定系数法. 设f()=cos, 或 sin 则有 与 由此可得 与 故 (sinia)A=sinA与(cosia)I=cosA. 5. 对A求得P= , P=, PAP=根据p69方法二, e=Pdiag(e,e,e)P=sinA=Pdiag(sin(1),sin1,sin2)P=6. D()=, D()=D()=1, AJ=. 现设r(,t)=b+b+b, 则有 b=1, b=2ete2, b=tee+1. 于是e=r(A, t)=bI+bA+bA=I+(2ete2)+(
11、tee+1) = 同理,由 b=1, b=tsint+2cost2, b=1tsintcost. 将其代入cosAt=bI+bA+bA, 求出cosAt=7. 设 f(A)=,S=.则 f(A)=并且由于(S)=所以, f(A)=f(A). 8, (1) 对A求得P=, P=P , J=则有e=PP=sinAt=PP=cosAt=PP =(2) 对A求出P=P=, J=则有e=PP=sinAt=PP=cosAt=PP=9. (1) sinA+cosA= = =e=I (2) sin(A+2I)=sinAcos(2I)+cosAsin(2I) =sinAI(2I)+(2I)+cosA2I(2I)
12、+(2I) = sinA1(2)+(2)I+cosA2(2)+(2)I =sinAcos2+cosAsin2 （3）的证明同上.(4) 因为 A（2iI）=(2iI)A ,所以根据定理3.10可得e=ee=eI+(2I)+(2iI)+(2iI)+=e1(2)+(2)+i2(2)+(2)I=ecos2+isin2I=e此题还可用下列方法证明:e=ee=ePP=ePIP=e用同样的方法可证: e=ee.10. A=A, 根据第7题的结果得 (e)=e=e, 于是有e(e)=ee=e=e=I 11. 因A是Herm(iA)=iA=iA , 于是有e(e)=ee=e=I12. 根据定理3.13, A=e, 利用定理3.14得=A=A(eI).13. A(t)=, (detA(t)
