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1、.探索规律题类型一数字规律1、下面是按一定规律排列的一列数：，那么第n个数是解析分子分别为1、3、5、7，第n个数的分子是2n1。43=1=12，73=4=22，123=9=32，193=16=42，第n个数的分母为n2+3。第n个数是。2、 观察下列等式：，。试猜想，的个位数字是_ 。解析本题主要考查规律探索。观察等式：，可得，次方的个位数字是，次方的个位数字是，次方的个位数字是，次方的个位数字是，次方的个位数字是，个位数字的变化是以、为周期，即周期为，又因为，所以的个位数字与的个位数字相同为。故本题正确答案为。考点规律探索。3、古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,叫做三角形数,它
2、有一定的规律性,若把第一个三角形数记为,第二个三角形数记为,第n个三角形数记为,则答案解:,则,因此，本题正确答案是:.解析根据三角形数得到,即三角形数为从1到它的顺号数之间所有整数的和,即、,然后计算可得.4、按一定规律排列的一列数：，请你仔细观察，按照此规律对应的数字应为_。答案解析本题主要考查规律探索。将中间两个化为分数之后为：，观察可知分子是从开始不断递增的奇数，分母是从开始不断递增的质数，那么根据这个规律即可得到。故本题正确答案为。考点规律探索。5、如图,下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律,依此规律,那么第4个图形中的,一般地,用含有m,n的代数式表示y,即.答案解:观察,发现
3、规律:,因此，本题正确答案是:63;解析观察给定图形,发现右下的数字=右上数字(左下数字,依此规律即可得出结论.6、观察下列数据：，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个数据是_。答案解析本题主要考查规律探索。由数据，可观察到，第奇数个数据为负数，第偶数个数据为正数，所以数据中带有这个因式，将化成，则这组数据变成，由此可观察出，每一个分数的分子都是分母的平方再加，所以这组数据中第个分数为，将代入可得出分数。故本题正确答案为。7、“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，设碳原子的数目为n（n为正整数），
4、则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示（）A.CnH2n+2B.CnH2nC.CnH2n-2D.CnHn+3答案此题答案为：A.解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，观察发现：a1421+2，a2622+2，a3823+2，an2n+2.碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为CnH2n+2.故选A.解析【考点提示】本题主要考查探究规律，解题的关键是找出碳原子与氢原子数量之间的关系【解题方法提示】设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，列出部分an的值；根据数值的变化找出变化规律“an2n+2”，依次规律即可解决问题8、从“特殊到一般”是数学上常用的
5、一种思维方法.例如,“你会比较与的大小吗”我们可以采用如下的方法:(1)通过计算比较下列各式中两数的大小:(填“”、“”或“=”),(2)由(1)可以猜测与(n为正整数)的大小关系:当n时,;当n时,;(3)根据上面的猜想,可以知道:(填“”、“”或“=”).答案23解:(1),故;,故;,故;,故.因此，本题正确答案是:;.(2)结合(1)的结论,可以得出猜测结果:当时,;当时,.因此，本题正确答案是:;.(3),.因此，本题正确答案是:.解析先找出各组数的值,再进行比较,即可得出结论;(2)结合(1)结论,即可得出猜测的结论;(3)由,结合(2)猜测的结论,得出结果.类型二 数式规律1、（
6、11）将一列整式按某种规律排成x，2x2，4x3，8x4，16x5则排在第六个位置的整式为_答案32解析符号的规律：n为奇数时，单项式为正号，n为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是2n-1指数的规律：第n个对应的指数是n解：根据分析的规律，得：第六个位置的整式为：-25x6=-32x6故答案为：-32x6此题考查的知识点是单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键2、已知，（为正整数，且，），则_。（用含有的代数式表示）答案解析本题主要考查分式的
7、基本性质和规律探索。，所以规律以为周期循环，因为可以整除，所以。故本题正确答案为。考点分式的基本性质，规律探索。3、观察下面计算过程:;你发现了什么规律用含n的式子表示这个规律,并用你发现的规律直接写出的值.答案解:,当时,上式.解析所求式子利用平方差公式化简,计算即可得到结果.4、观察下来等式：第一层1+2=3第二层4+5+6=7+8第三层9+10+11+12=13+14+15第四层16+17+18+19+20=21+22+23+24在上述数字宝塔中，从上往下数，数字2016在第_层。答案由题可知：每一层的第一个数：第n层的第一个数为n2，442=1936,452=2025，数字2016在第
8、44层，故答案为：44.解析观察发现：第n层的第一个数为n2，所以要看2016介于哪两个数的平方之间，计算442=1936，452=2025，由此得：数字2016在第44层5、观察下列算式:(1),(2),(3),(4),请你在察规律解决下列问题(1)填空:.(2)写出第n个式子(用含n的式子表示),并证明.答案20132017解:(1)由以上四个等式可以看出:每一个等式第一个因数等于序号数,第二个因数比第一个大4,等式右边的底数比第一个数大2;所以有:.答案为:2013,2017;(2)第n个等式为:;左边右边成立.解析(1) 每一个等式第二个因数比第一个大4,然后都加4,等式右边的底数比第
9、一个数大2;反之可由最后一数反推得到.(2)设第一个数是n,那么第二个因数即为,等式右边的底数则为,表示出等式即可.6、有一列按一定顺序和规律排列的数：第一个数是；第二个数是；第三个数是；对任何正整数，第个数与第个数的和等于。（1）经过探究，我们发现：；。设这列数的第五个数为，那么，哪个正确.请你直接写出正确的结论。（2）请你观察第个数、第个数、第个数，猜想这列数的第个数（即用正整数表示第个数），并且证明你的猜想满足“第个数与第个数的和等于”。（3）设表示，这个数的和，即，求证：。答案（1）。（2）由题意可知，第个数为，第个数为。第个数与第个数的和为。（3）因为，将上述个不等式式子依次相加可得
10、，即，得证。解析本题主要考查规律探索和分式的运算。（1）由已知规律可得，。（2）先根据已知规律写出第个数和第个数，再根据分式的运算求和化简即可求解。（3）将这列数依次根据展开，然后再全部相加即可得证结论。考点分式的运算，规律探索。类型三 图形规律一、 图形累加规律1、如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第个图案中有_个涂有阴影的小正方形（用含有的代数式表示）。答案解析本题主要考查规律探索。由题意可知，第，个图案中分别有，个涂有阴影的小正方形。其中，。由此可以推出，第个图案共有个涂有阴影的小正方形。故本题正确答案为。考点规律探索。2、图都是
11、由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案,第个图案有4个黑棋子,第个图案有9个黑棋子,第个图案有14个黑棋子,.依次规律,第n个图案有个黑棋子.(用含n的代数式表示)答案解:观察图有个黑棋子;图有个黑棋子;图有个黑棋子;图有个黑棋子;图n有个黑棋子,因此，本题正确答案是.解析仔细观察每一个图形中黑棋子的个数与图形序列号的关系,找到规律,利用规律求解即可.3、下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案1需根火柴棒，图案2需根火柴棒，按此规律，图案7需_根火柴棒。答案解析本题主要考查规律探索。图案1中需要的火柴数为，图案2中需要的火柴数为，图案3中需要的火柴数为，图案n中需要的火柴数为，所
12、以图案7中需要的火柴数为。故本题正确答案为。考点规律探索。5、小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第个图案有枚棋子，第个图案有枚棋子，第个图案有枚棋子，第个图案有枚棋子，那么第个图案的棋子数是_枚。答案解析本题主要考查规律探索。由题意可知，在第奇数个图案的时候增加枚棋子，在第偶数个图案的时候增加枚棋子，以此规律进行排列，第个图案有枚棋子，第个图案有枚棋子，第个图案有枚棋子，第个图案有枚棋子，第个图案有枚棋子。故本题正确答案为。6、(2016徐州)17.如图，每个图案都是由大小相同的正方形组成，按照此规律，第n个图形中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为_。第1个 第2个 第3个答案
13、第一个图形，正方形个数：2,第二个图形，正方形个数：2+4第三个图形，正方形个数：2+4+6 第n个图形，正方形个数：2+4+6+8+.+2n=n(n+1)故答案为n(n+1)。7、如图,在数轴上,P两点表示的数分别是1,2,关于点O对称,关于点P对称,关于点O对称,关于点P对称依次规律,则点表示的数是答案解:根据对称的性质得:表示的数为-1,表示的数为5,表示的数为-5,表示的数为9,表示的数为-9,表示的数为13,表示的数为,表示的数为17,表示的数为,表示的数为21,表示的数为,表示的数为25,则表示的数为.因此，本题正确答案是:.8、将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察
14、，第个图形有_个小圆。（用含的代数式表示）答案解析本题主要考查整式探索与表达规律。据观察，第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，第个图形有个小圆。故本题正确答案为。考点探索图形中的规律。9、观察如图所示的钢管的截面图，则第个图的钢管数是_。（用含的式子表示）答案解析本题主要考查规律探索。设第个图的钢管数为，则由题可知，当时，。当时，当时，所以。故本题正确答案为。10、下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第个图形中一共有个小圆圈，第个图形中一共有个小圆圈，第个图形中一共有个小圆圈，按此规律排列下去，第个图形中小圆圈的个数为（）。A:B:C:D:答案D解析本题主要考查规律探索。观察图可知，第个图中小圆圈有个，第个图中小圆圈的个数为，第个
