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1、用拓展映射法求解(2+1)维一般的Broer-Kaup方程的新一类精确解和混沌孤子方建平1，郑春龙1,2，朱海平1，任清褒1，陈立群21 丽水学院物理系，浙江 丽水 3230002 上海大学应用数学和力学研究所， 上海 200072摘要：利用拓展映射法，得到了(2 +1)维一般的可变系数的Broer-Kaup方程(GBK)的新一类精确解.根据得到的孤立波解，我们得到了一些特定的(2 +1)维GBK方程的混沌孤子.关键词:拓展的映射法;GBK方程;精确解; 无序孤子（混沌孤子）1. 引言 混沌和孤子是非线性中两个重要方面，这已被广泛应用于许多自然科学如流体力学，等离子物理，场论，光学，凝聚态物理
2、等。一般来说，这两方面被独立，至今人们常认为孤子是基本激发的可积模型和混沌是基本行为的不可积模型，这也就意味着没有人能分析在孤子系统中可能存在的混沌。然而，这个考虑可能没有完备，尤其是在一些更高维度内。在最近的孤子系统研究中，科学家19已经发现一些(1+1)-及(1+0)-维任意函数特征存在一定的(2+1)维可积模型精确解。这意思是说一些低维混沌解常被构建成一些高维可积模型的精确解，这也就意味着任何外来行为可能沿着这一传播特点。事实上，在一定高维可积系统已经发现一些特定的混沌孤子7。现在一个重要而有趣的问题是在其他更高维的孤子系统中是否有类似或新型混沌局部结构。换句话说，在更高维度的物理模型下
3、的混沌是否是相当普遍的现象？与此同时，据我们所知，所有前人发现在(2+1)维中的混沌孤子是通过 PainlevBcklund转换和特别的变量分离法获得的。所以随后有一个有趣的问题是是否可以通过其他方法在(2+1)维可积系统中获得混沌孤子解，例如对称还原法1012，映射方法，等等1315。为了解答这些问题，我们采取广义的(2+1)维BreorKaup (GBK)方程作为具体的例子，, (1), (2), (3)其中， 是常数。这个GBK方程是从一个典型的(1+1)维BreorKaup (BK)方程通过Painlev分析得到的。显然的，当=0，这个GBK方程将会被简并为普通的(2+)维BreorK
4、aup (GBK)方程1719，这个可以从KadomtsevPetviashvili模型的内在对称约束的可变参数中获得20。使用一些恰当的可变参数变换，陈和李已经证明(2+1)维BK方程可以被转化为(2+1)维色散长波方程22 和(2+1)维AblowitzKaupNewellSegur方程23。事实上，这个(2+1)维BK方程已经被很多研究人员广泛的研究24-26。然而，据我们所知，这个GBK方程尚未讨论很好，通过黄等人27通过一个非线性投影Riccati方程的方法获得特殊类孤子解来化解GBK方程(=0)，和郑等人6通过PainlevBcklund转换获得某些semifolded结构。文章接
5、下来，我们将导出一些新的孤子解通过拓展映射的方法求解GBK方程以及在导出的孤子的基础上讨论某些新型的特征。2. (2+1)维GBK方程的新型精确解以及拓展映射法通常，为了研究非线性中的孤立波解，我们可以运用各种不同的方法。其中发现孤子激发的物理模型最有效的方法是所谓的拓展映射转换的方法13-15。在映射转换观念的帮助和一般的还原理论，我们拓展了映射的方法。这个算拓展映射的基本思想是对于给定的一个非线性偏微分方程(NPDE)与独立变量x = (x0 = t, x1, x2, . . . , xm) 和应变量u，满足以下形式方程P(u, ut, uxi , uxixj , ) = 0 , (4)P
6、是指定参数的一般多项式函数，下标表示部分偏导，我们假设它有如下形式的对称拓展解，即, (5)式(5)中，满足, (6)这里的，和 x = (x0 = t, x1, x2, . . . , xm)都是特定的任意函数， 是一个常数，函数是指函数的一阶导数。为了确定u的解，我们可以采取以下步骤：首先，类似于常见的映射方法，通过给定的NPDE最高位部分术语平衡非线性最高项；再次，将式子(5)和(6)代入给定的NPDE方程，就可以得到的多项式系数，然后消除各系数构建一套偏微分方程 (i = n, . . . ,1, 0, 1, . . . , n) 和；然后，通过解决偏微分方程得到和。最后，根据方程(6
7、)得到一般的解， (7) 将， 和式 (7) 代入式 (5)，就可以导出NPDE方程的精确解。 现在我们首先将拓展映射法用于式子(1)对y进行微分后，代入式(3)得，, (8) , (9)此后，我们采取Bcklund转换求解式(8) 和(9)得， , (10)这里有和H0 = H0(x, t)可变参数的任意函数，基于式 (10) 和 (3)，我们有，G = 2Hy , (11)和U = 2Hx + A(x, t) , (12)这里的A(x, t)是一个任意x, t积分函数。将式(11)代入式(8) 和 (9)得到一个相同的非线性偏微分方程，, (13)相当于, (14)这里的就是一个任意的积分
8、函数。对于式(14)，假设的解式(5)通过平衡过程得到，, (15)这里的f,g,h和是x, y, t确定的任意函数，将式(15)和式(6)代入式(14)，并按的同次幂合并,令的系数为零,可求得，, (16), (17), (18), (19), (20) (21) (22)根据式(16) 和 (19)，我们有 (23)将式(23) 代入 (17)，我们可以得到 (24)将式(23)和(24)代入化解方程，我们可以发现(18) ，(20)和(24)是相同的，然后方程(22)可以写成 (25)将式(23)，(24)和(25)的解代入式(15)，我们可以得到式(14)的精确解。显然的，当R(x,
9、t) = 0，可得到GBK方程一个简单的行波解(= ax+by+ct)。现在，对于GBK方程我们打算获得更一般的解，假设有这样个解，, (26)其中分别是(x, t)和(y, t)两个任意分离变量方程，将式 (26) 代入式 (25)，可得 (27)因为R(x, t)是x, t的任意函数，我们把当做x, t的任意解，然后定义R(x, t)为下列形式，. (28)将式(28)代入(27)，得到. (29)简化式(29)可得到的一个任意函数解y 2t，即 (30)最后，从式(7)， (11)，(12)，(15)， (23)， (24)， (26)和(30)，得到GBK方程的精确解。情形1 设 0，
10、可以得到GBK方程的周期波解 (37), (38), (39) (40), (41), (42)其中， ，A(x, t)为所示变量的任意函数。情形 3 设 = 0,我们可以得到GBK方程的变量分离解, (43), (44), (45)其中， ，A(x, t)为所示变量的任意函数。3 (2+1)维GBK方程局域激发的混沌行为由于以上的解都包含着任意函数 和A(x, t), 使得系统的物理量H,G和U变得相当丰富14,15，本文我们主要讨论(2+1)维GBK方程的一些特殊孤子结构和混沌行为,为了简化，我们只讨论式(32)中的G1领域，并设. (46)图1 式(46)利用式(47)得到的一个简单特殊的dromion孤子(取t = 0, = 1)在(2+1)维中，其中最重要的非线性解是dromion孤子，这里的所有方向指数被定域，例如，如果选择和为 = 1 + exp(x + ct), = 1 + exp(y 2t) , (47)于是我们可以得到式(46)的dromion孤子结构，如图1所示(取t = 0, = 1).(i) 混沌线孤子此外，如果函数和，解决了混沌动态方程，然后我们可以导出一些孤子结构和混沌行为。比如，是固定的核自旋NSG方程的解，表达式为28,m = bm + n, n = m bn(1 cl) , l = ba(1 l) cn2 ,
