《新教材同步系列2024春高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.1直线与直线垂直课件新人教A版必修第二册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新教材同步系列2024春高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.1直线与直线垂直课件新人教A版必修第二册（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.1直线与直线垂直学习目标学习目标素养要求素养要求借助长方形，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系；会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，并求出该角直观想象、逻辑推理、数学运算|自 学 导 引|异面直线所成的角1定义：已知两条异面直线a，b，经过空间_一点O作直线aa，bb，则异面直线a与b所成的角就是直线a与b所成的_(或_)2异面直线所成角的范围：_特别地，当_时，a与b互相垂直，记作_任意锐角直角09090ab【预习自测】如图，正方体ABCDABCD中异面直线AB与BC所成的角为_；异面直线AD与BC所成的角为
2、_【答案】9045【解析】ABAB，ABC为AB与BC所成的角又ABC90，AB与BC所成的角为90BCAD，DAD为AD与BC所成的角DAD45，AD与BC所成的角为45|课 堂 互 动|题型1异面直线的判断如图所示的是正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有_对【答案】3【解析】平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行故互为异面直线的有3对异面直线的判定方法(1)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内
3、不经过点B的直线是异面直线(2)先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，推出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到1有下面四个命题：若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；若a，b为异面直线，直线ca，则c与b异面；若空间三条直线满足ab，bc，则ac其中真命题的序号为_【答案】【解析】若直线a，b异面，b，c异面，则a，c三种位置关系都可能有，所以不正确；若直线a，b相交，b，c相交，则a，c三种位置关系都可能有，所以不正确；由空间直线的位置关系和c与b可能异面或相交，所以不正确
4、；因为ab，bc，所以ac，所以正确题型2异面直线所成的角如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，CC1的中点(1)求三棱锥EDFC的体积；(2)求异面直线A1E与D1F所成的角的余弦值解：(1)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，CC1的中点点E到平面DFC的距离dAD2，(2)如图，取BB1的中点G，连接A1G，EG，则A1GD1F，EA1G是异面直线A1E与D1F所成的角(或所成角的补角)求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利
5、用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线(2)求转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角(3)结论设由(2)所求得的角的大小为若090，则为所求；若90180，则180为所求提醒：求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角的范围是0902如图所示，在三棱锥ABCD中，ABCD，ABCD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成的角解：如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG因为E，F分别为BC，AD的中点，ABCD，所以GFE(或其补角)就是异面直线EF与AB所成的角，且EGGF因为ABCD，所以EGGF所以EGF
6、90所以EFG为等腰直角三角形所以GFE45，即EF与AB所成的角为45题型3异面直线垂直的证明如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，求证：ACB1D证明：如图，连接BD交AC于点O，设BB1的中点为E，连接OE，则OEDB1所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角连接AE，CE，易证AECE又因为O是AC的中点，所以ACOE所以ACB1D证明两异面直线垂直的方法(1)要证明两异面直线垂直，可根据两条异面直线垂直的定义，证明这两条异面直线所成的角为90(2)在证明两条异面直线垂直时，与求两条异面直线所成的角类似，一般也是通过平移法找到与之平行的直线3对角线互相垂直的空间四边形ABCD
7、各边中点分别为M，N，P，Q，判定四边形MNPQ的形状解：如图，M，N，P，Q分别是四条边的中点，MNAC，MNPQ且MNPQ四边形MNPQ是平行四边形又BDMQ，ACBD，MNMQ平行四边形MNPQ是矩形易错警示忽略空间角的范围致误如图，已知空间四边形ABCD中，ADBC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30，则BC与AD所成的角为_错解：120如图，连接BD，并取中点E，连接EN，EM，则ENBC，MEAD，故ENM为BC与MN所成的角，MEN为BC与AD所成的角，ENM30又由ADBC，知MEEN，EMNENM30，MEN1803030120，即BC与AD所成的角
8、为120易错防范：在未判断出MEN是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，因为异面直线所成的角的取值范围是090，如果MEN为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角正解：易求得MEN120，又MEN(或其补角)是BC与AD所成的角，BC与AD所成的角为60|素 养 达 成|在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0，90，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小(体现直观想象与数学运算核心素养)1(题型1)如果两条直线a和
9、b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A共面B平行C异面D平行或异面【答案】D【解析】由两条直线的位置关系，可知答案为D2(题型2)设为两条异面直线所成的角，则满足()A090B090C090D0180【答案】B【解析】异面直线所成的角为锐角或直角故选B3(题型1)已知两条直线a，b，且a平面，b，则a与b的位置关系是_【答案】平行或异面【解析】a，则a与无交点，b，则a与b无交点，所以a，b的位置关系是平行或异面4(题型2)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为_【答案】60【解析】如图，连接BC1，AD1，AB1，
10、则EF为BCC1的中位线，EFBC1ABCDC1D1，且AB CD C1D1，四 边 形 ABC1D1为 平 行 四 边 形 BC1AD1EFAD1AD1B1为异面直线EF和B1D1所成的角或其补角在AB1D1中，易知AB1B1D1AD1，AB1D1为正三角形AD1B160EF与B1D1所成的角为605(题型3)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心求证：AO1BD证明：如图，连接B1D1，AD1，AB1，ABCDA1B1C1D1是正方体，BB1DD1，且BB1DD1，四边形BB1D1D是平行四边形B1D1BD直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角易证AB1AD1又O1为底面A1B1C1D1的中心，O1为B1D1的中点，AO1B1D1AO1BD
