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1、第八章立体几何初步8.2立体图形的直观图学习目标学习目标素养要求素养要求1能用斜二测画法画简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图直观想象2会根据斜二测画法规则进行相关运算直观想象、数学运算|自 学 导 引|斜二测画法1直观图的定义直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形；画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用_内的点表示同一平面2用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤【答案】45135水平面x轴或y轴的线段保持原长度不变一半【预习自测】判断下列命题是否正确(正确的画“”，错误的画“”)(1)在实物图中取坐标系不同，所得的直
2、观图有可能不同()(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴()(3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变()(4)斜二测坐标系取的角可能是135()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(3)平行于x轴的不变，平行于y轴的减半相等的角在直观图中还相等吗？【提示】不一定例如正方形的直观图为平行四边形空间几何体直观图的画法(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个_轴，直观图中与之对应的是_轴(2)平面_表示水平平面，平面_和_表示竖直平面(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中_和_都不变(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为_zzxOyyOzxOz平行
3、性长度虚线【预习自测】空间几何体的直观图唯一吗？【提示】不唯一作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同|课 堂 互 动|题型1平面图形的直观图(1)如图，一个水平放置的正方形ABCD，它在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图ABCD中，顶点B到x轴的距离为_【解析】正方形的直观图ABCD如图所示因为OABC1，BCx45，(2)用斜二测画法画出图中正五边形ABCDE的直观图解：画法：在图1中作AGx轴于点G，作DHx轴于点H在图2中画相应的x轴与y轴，两轴相交于点O，使xOy45在图2中的x轴上取OBOB，OGOG，连接AB，AE，ED，D
4、C，并擦去辅助线GA，HD，x轴与y轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图ABCDE(如图3)画平面图形的直观图的技巧(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段1用斜二测画法画出图中等腰梯形ABCD的直观图(其中O，E分别为线段AB，DC的中点)解：(1)如图，画对应的坐标系xOy，使xOy45(3)连接BC，DA，所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观
5、图题型2画空间几何体的直观图画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图解：(1)画轴画Ox轴、Oy轴、Oz轴，xOy45(或135)，xOz90，如图所示(2)画底面以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD(3)画顶点在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高(4)成图顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图画空间几何体直观图的规则(1)按照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图(2)根据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变，画出几何体的各侧面，所以画空间几何体的步骤可简单总结为：2用斜二测画法画出正五棱柱的直观图解：(1)画 轴
6、 画 x轴、y轴 和 z轴，使xOy45(或135)，xOz90，如图1所示(2)画底面以O为中心在xOy平面内画正五边形的直观图ABCDE(3)画侧棱过点A，B，C，D，E分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA，BB，CC，DD，EE都相等(4)成图顺次连接A，B，C，D，E，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图2所示题型3直观图的还原与计算(2)(2023年上海黄埔区期中)如图，用斜二测画法所画的一个平面图形的直观图是一个边长为a的正方形OABC，则原平面图形的周长为()A10aB8aC6aD4a【答案】(1)C(2)B直观图的还原与计算的注意点由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长
7、度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点：由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换3(2023年武汉期中)如图，OAB是水平放置的OAB用斜二测画法画出的直观图(图中虚线分别与 x轴和 y轴平行)，则 OAB的面积为()【答案】D易错警示直观图与原图面积混淆致误如图所示的是水平放置的平面图形OAB的直观图，则原平面图形的面积为()错解：B|素 养 达 成|1斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而
8、求原图形的面积可把直观图还原为原图形(体现直观想象、数学运算核心素养)2在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小1(题型1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()A原来相交的仍相交B原来垂直的仍垂直C原来平行的仍平行D原来共点的仍共点【答案】B【解析】由斜二测画法规则知，B选项错误故选B2(题型3)(多选)(2023年三亚期中)已知一条边在x轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一条边长为4，则此正方形的面积可以为()A16B64C32D48【答案】AB【解析】根据题意，正方
9、形的直观图如图所示，若直观图中平行四边形的边AB4，则原正方形的边长为ABAB4，所以该正方形的面积为S4416；若直观图中平行四边形的边AD4，则原正方形的边长为AD2AD8，所以该正方形的面积为S8864故选AB3(题型2)一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面的尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m，5m，10m，四棱锥的高为8m，若按1500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为()A4cm，1cm，2cm，1.6cmB4cm，0.5cm，2cm，0.8cmC4cm，0.5cm，2cm，1.6cmD2cm，0.5cm
10、，1cm，0.8cm【答案】C【解析】由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm，1cm，2cm和1.6cm，再结合斜二测画法，可知直观图中相应的尺寸应分别为4cm，0.5cm，2cm，1.6cm4(题型3)在如图所示的直观图中，四边形OABC为菱形且边长为2cm，则在平面直角坐标系中原四边形OABC为_(填具体形状)，其面积为_cm2【答案】矩形8【解析】由斜二测画法规则可知，在四边形OABC中，OAOC，OAOA2cm，OC2OC4(cm)，所以四边形OABC是矩形，其面积为248(cm2)5(题型1)画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图解：(1)过点C作CEx轴，垂足为点E，如图1所示画出对应的x轴、y轴，使xOy45，如图2所示
