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1、第七章随机变量及其分布章末素养提升体系构建核心归纳2离散型随机变量的分布列(1)定义设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，xn，随机变量X取xi的概率为pi(i1，2，n)，记作：_.或把上式列成下表Xx1x2xnPp1p2pn上述表或式称为离散型随机变量X的分布列(2)求随机变量的分布列的步骤明确随机变量X的取值；准确求出X取每一个值时的概率；列成表格的形式(3)离散型随机变量分布列的性质pi0，i1，2，n._【答案】(1)P(Xxi)pi(i1，2，n)(3)p1p2pn1(2)意义：均值刻画的是X取值的平均水平，而方差刻画的是一个随机变量的取值与其均值的偏离程度方差越小，则随机变量
2、的取值与其均值的偏离程度_5正态分布(1)正态分布的分布密度函数为(2)正态分布密度函数满足以下性质函数图象关于直线x对称；(0)的大小决定函数图象的“胖”“瘦”；P(X)0.682 7；P(2X2)0.954 5；P(3X3)0.997 3.思想方法(一)离散型随机变量中转化思想的应用1离散型随机变量的期望和方差是随机变量中两种最重要的特征数，它们反映了随机变量取值的平均值及其稳定性，是高考的一个热点问题，多与概率统计结合考查，难度中档2期望与方差在实际优化问题中有大量的应用，关键要将实际问题转化为数学问题，然后求出它们的概率分布列，同时，要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的期望、方差公
3、式以及期望与方差的性质，如E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X).(2023年邯郸模拟)“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担的政策，“双减”政策的出台对校外培训机构的经济效益产生了严重影响某大型校外培训机构为了降低风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2022年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表所示消费金额/千元3，5)5，7)7，9)9，11)11，13)13，15人数/人305060203010(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用比
4、例分配的分层随机抽样方法在消费金额在区间9，11)和11，13)内的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为11，13)的人数的分布列和均值试估计该机构学员2022年消费金额在区间5.2，13.6)内的概率(保留一位小数)；若从该机构2022年所有学员中随机抽取4人，记消费金额在区间5.2，13.6)内的人数为，求的方差【点评】解离散型随机变量的期望与方差的方法(1)求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确使用期望、方差公式进行计算(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，可用公式计算，则更为简
5、单1若有甲、乙两家单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元4 2004 4004 6004 800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元4 0004 4004 8005 200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，得E(X1)4 2000.44 4000.34 6000.24 8000.14 400，D(X1)(4 2004 400)20.4(4 4004 400)20.3(4 6004 400)20.2(4 8004 400)2 0.140 000；E(X
6、2)4 0000.44 4000.34 8000.25 2000.14 400，D(X2)(4 0004 400)20.4(4 4004 400)20.3(4 8004 400)20.2(5 2004 400)2 0.1160 000.因为E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，所以两家单位的月工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散如果认为自己能力较强，通过一段时间的努力可以获得高工资职位，可选择乙单位；如果认为自己能力一般，则选择甲单位可能得到更高的收入，可选择甲单位(二)方程思想的应用方程思想是高中数学中最基本、最重要的数学思想之一，这种思想方法就是
7、从分析问题的数量关系入手，把变量之间的关系用方程的关系反映出来，然后通过解方程或对方程进行讨论，使问题得以解决，利用方程思想解题的关键是列出方程的分布列为【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列及期望的求法，解题要注意解题步骤的规范性(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率(三)数形结合思想的应用1由于正态曲线具有对称性，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题，解题时要注意数形结合2高考常将频率分布直方图与
8、分布列等交汇在一起进行考查，解题时要正确理解频率分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据A甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值B甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值C甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性D甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性【答案】AC【解析】结合正态密度函数的图象可知12，12，故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，A正确，B错误；甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，C正确，D错误【点评】根据正态曲线的对称性求解概率的三个关键点(1)正态曲线与
9、x轴围成的图形面积为1；(2)正态曲线关于直线x对称，则正态曲线在对称轴x的左右两侧与x轴围成的面积都为0.5；(3)可以利用等式P(Xc)P(Xc)(c0)对目标概率进行转化求解3(2023年济南模拟)从某企业的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图链接高考1(2023年甲卷)有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为()A0.8B0.4C0.2D0.1【答案】A2(2022年浙江)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中
10、随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则P(2)_，E()_3(2023年新高考卷)甲、乙两人投篮，每次均只有其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮无论之前投篮情况如何，甲每次投篮命中率均为0.6，乙每次投篮命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第i次投篮的人是甲的概率；解：(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，i1，2，n，则P(B2)P(A1B2)P(B1B2)P(A1)P(B2|A1)P(B1)P(B2|B1)0.5(10.6)
11、0.50.80.6.(2)设P(Ai)pi，则P(Bi)1pi.所以P(Ai1)P(AiAi1)P(BiAi1)P(Ai)P(Ai1|Ai)P(Bi)P(Ai1|Bi)，4(2022年甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望(2)X的可能取值为0，10，20，30.P(X0)0.50.40.80.16，P(X10)0.50.40.80.50.60.80.50.40.20.44，P(X20)0.50.60.80.50.40.20.50.60.20.34，P(X30)0.50.60.20.06.X的分布列为E(X)00.16100.44200.34300.0613.X0102030P0.160.440.340.06
