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1、韶关学院第十四届数学建模竞赛题参考解答一、原料采购某工厂正常情况下天天需要消耗某种原材料4吨，因此每隔一段时间需要购买一次原材料，原材料的价格为2023元/吨，原材料的保管费用天天2元/吨，每次购买原材料需要支付运费1600元.为了保证天天都有原材料供应生产，请给出最优的原材料采购计划.解：设每隔t天购买一次原材料，则总的保管费用为 -（10分）支付的总费用为：则平均天天支付的费用为 -（20分）从而当，即t=20时平均天天的支付费用最少.于是应当20天采购一次原材料.-（25分）二、运送成本某运送公司接受了向抗洪抢险地区天天至少送180t支援物资的任务.该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆
2、载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车天天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车天天往返的成本费A型车为320元，B型车为504元.请为该公司安排一下应当如何调配车辆，才干使公司所花的成本费最低？解：根据题意可得：A型车B型车物资限制载重（t）610共180车辆数84出车次数43每车天天运送成本（元）320504设天天调出A型车x辆、B型车y辆，公司所花的成本为z元，则最低成本费数学模型为 -(10分)这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解.可行域（如上图）为：由直线：x+y=10, :4x+5y30 以及x=8,y=4组成的凸四边形区域. 直线：320x+504y=c
3、在可行域内平行移动. -（17分） 易知：当过y=0与的交点时，z取最小值. 由 解得 取最近的整点（8，0），即只调配A型卡车8辆，所花成本费最低. =3208=2560（元） -(25分)三、最短途径如下图，图中箭头方向表达可以进行移动，箭头上数字表达行走的距离（单位：km，如6号位置可以前进到7号位置，距离为4km；而7号无法前往6号）.现我们所处1号位置，由于行程需要前往8号位置，求最少需要走多少路程可以到达，并且写出具体路线.解：（1）.列举法(略)（2）.运用迪杰斯特拉算法：X表达行进过的区域，X=1，第一步：min d12,d14,d16=min 0+2,0+1,0+3=min
4、2,1,3=1X=1,4, p4=1 -（5分）第二步：min d12,d16,d42,d47=min 0+2,0+3,1+10,1+2=min 2,3,11,3=2X=1,2,4, p2=2第三步：min d16,d23,d25,d47=min 0+3,2+6,2+5,1+2=min 3,8,7,3=3X=1,2,4,6, p6=3第四步：min d23,d25,c47,d67=min 2+6,2+5,1+2,3+4=min 8,7,3,7=3X=1,2,4,6,7, p7=3 -（12分）第五步：min d23,d25,d75,d78=min 2+6,2+5,3+3,3+8=min 8,7
5、,6,11=6X=1,2,4,5,6,7, p5=6第六步：min d23,d53,d58,d78=min 2+6,6+9,6+4,3+8=min 8,15,10,11=8X=1,2,3,4,5,6,7, p3=8 -（20分）第七步：min d38,d58,d78=min 8+6,6+4,3+7=min 14,10,11=10X=1,2,3,4,5,6,7,8, p8=101到8的最短途径为1，4，7，5，8，长度为10km. -（25分）四、隔热厚度为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用2023的隔热层，每厘米厚的隔热层建导致本为6万元
6、该建筑物每年的能源消花费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：（k为一未知待定系数），若不建隔热层，每年能源消花费用为8万元设为隔热层建造费用与2023的能源消花费用之和（）求的值及的表达式；（）隔热层修建多厚时，总费用达成最小，并求最小值 解：()设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消花费用为，再由C(0)=8，得k=40，因此， -（5分）而建造费用为C1(x)=6x，最后得隔热层建造费用与2023的能源消花费用之和为 -（12分） ()令f(x)=0，即，解得（舍去），-（17分）当0x5时，f(x)0，当5x10时，f(x)0，故x=5是f(x)的最小值点，相应的最小
7、值为地=70 -（25分）五、车间通风某车间体积为12023立方米,开始时空气中具有的,为了减少车间内空气中的含量,用一台风量为每分钟2023立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后,车间内的比例减少到多少?解：设鼓风机开动后时刻的含量为在内，气量变化关系为：；.故可得到：， -（10分）进一步有： ， -（15分）求解以上微分方程得到：，结合初值条件：，得到：，故有：，计算在6分钟后，有 , 于是，鼓风机开动6分钟后, 车间内的比例减少到. -（25分）六、最大面积工厂里有一块半圆形铁板，其半径为R.半圆的一部分有破损，破损位置如图所示，
8、其中BC=R/2，并且破损位置在以B所在的水平线右侧.现要在半圆铁板剩余的部分上切割出一个直角三角形，如图甲乙两个方案：甲方案是以半圆的直径所在边作为斜边，乙方案是选取半圆的直径所在边为直角边.哪种方案所切割的直角三角形最大？并说明理由.甲方案 乙方案解：我们根据甲、乙的方案，分别求出两种方案所能切割出直角三角形的最大面积.对于甲方案，以AB或者比AB短的线段作为直径的半圆内接三角形.显然，选取AB作为直径时可以保证三角形尽量的大，此时内接半圆的半径为，即. -（5分）以O为原点建立直角坐标系，此时O(0,0),A(),B().设D点的坐标为().则三角形的面积 -（15分）关于求导后可知，当时，对于乙方案，以O为圆心，O(0,0).设D点的坐标为().则三角形的面积关于求导， -（20分）令，即或时，取得极值.当时，通过比较，乙方案所切割出来的三角形面积大，因此乙方案要优于甲方案. -（25分）
