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1、第12章 连续优化建模引言在第7章，我们已经学习过线性规划模型Optimize (X)满足不等式约束 I (12.1)对线性规划模型来说，只有一个目标函数,并且它是决策变量（矢量X的分量）的线性函数，约束函数也必须是线性的。如果决策变量被限制为整数值,这个问题就是一个整数规划。在这一章,我们考虑目标函数连续但在非线性情况下的优化问题。此外,约束函数可以是非线性的,且它们是等式约束 I我们将注意力限定X只有不超过两个分量的问题，这是在微积分学过的优化模型。在第12.1节，我们介绍了一类特殊的问题,这些问题只利用基本的微积分就可以解决。在本节的例子中,我们建立了确定最优库存策略的模型。这一问题关心
2、的是如何确定订货的数量和频率，使总的库存持货成本最小。由于各种子模型的限制条件是很重要的,所以我们也考察最优解对假设条件的敏感性。(在 7.4节建立了一个假设条件较弱的仿真模型) 。12.1节强调的是模型的解法和模型的敏感性。在12.2节，我们研究多变量函数，通过两种方法找到最优解:一种是常规的多变量微积分方法(解决偏导数等于零的方程组)；另一种是用数值近似技术梯度搜索算法。在12.3节,我们研究具有等式约束的优化问题。在例子里，我们建立了利用有限容量储存设备进行石油运转的模型。12.3节强调的是这类优化问题的模型的解法和模型敏感性。我们将介绍分析这样的问题的拉格朗日乘子法。在12.4节,我们
3、介绍如何利用图形进行优化。介绍的例子是渔业管理问题，讨论自由市场是否会引导渔业主、客户和生态学家获得满意解，以及是否某些类型的政府干预是必要的。例子中利用图形进行分析，为某些类型的解决模型提供了一种定性的分析方法，这些解析模型在第10章和第11章中是用微分方程方法建立的。本章的最后的研究课题中，可以对本章讨论过的优化问题做进一步的详细研究。例如,如果学生愿意，可以利用研究课题中的UMAP教学单元，研究Lagrange乘子方法和变分发的基本思想。12.1存货成本最小化的问题:送货和储存案例A 某连锁的加油站聘请我们为咨询员,希望确定向每个加油站多长时间送一次货和每次送多少汽油。经过询问,我们知道
4、每一次送货时，加油站花费d美元,这不包括汽油的本身成本,并与送货的数量也没有关系。汽油储存同时也有成本。这类费用中的一种费用是库存占用的资金导致的费用,钱投资在储存的汽油上就不能用于其他地方了。这种费用通常的计算方法是：将汽油公司投入到储存的汽油上的成本乘以汽油储存的当前利率得到。其他与储存相关的费用包括储存汽油的油罐和设备的折旧摊销、保险、税收、和安全措施费用等。加油站位于州际高速公路附近,那里每周的汽油需求几乎是常数。记录可以得到每个加油站每天出售的汽油数量（加仑）。识别问题 假设公司希望最大化其利润，并且汽油的需求和价格在短期内都是常数。那么,因为总收益是常数，通过最小化总成本利润就能实
5、现最大化。总成本有许多不同的组成部分 ,如管理成本和员工报酬等。如果送货的数量和送货的时间对这些成本有影响,那么就应该考虑它们。我们假设这些成本不受它们的影响,集中考虑以下问题: 每个加油站在保证持有足够的汽油满足消费者的需求的前提下，使每天平均的送货和库存持货成本最小。从直观上来看,这样的成本存在最小值。如果送货所需费用很高,持货成本很低,我们就希望不要频繁的送货，每次送货量大一些。反之,如果送货费用很低,并且持货成本很高,我们就希望频繁的送货，每次送货量小些。假设 下面我们考虑哪些因素对于决定维持多大的库存是重要的。明显需要考虑的因素是送货成本、仓储成本和产品的需求率。储存产品的变质问题也
6、是一个值得考虑的重点。在汽油的案例中,当容器中的汽油量越来越少时，浓缩效应将变得越明显。同时,还可以考虑产品的售价和原材料成本市场上的稳定性。例如,如果产品的市场价格很不稳定,销售方就不愿意存储大量的产品。另一方面,预计原材料的价格在不久的将来会有大幅的增长，则应该大规模储存原料。另一值得考虑的因素是顾客对产品的需求量的稳定性。产品的需求量会发生季节性的波动，技术上的突破也可能使产品滞销。计划的时间跨度也是极为重要的。在短期内，可能已经与其他公司签订了租用储存空间的协议，而长期来看其中的一部分可能是不必要的。另一个需要考虑的因素是，偶尔发生的不能满足需求（缺货）的事件的重要性有多大。有些公司会
7、选择高成本的库存策略，保证从不缺货。从以上讨论可以看出，库存决策不是一件容易的事情，也不难构建前面谈到的某个因素会导致某种特殊的储存策略的情景。这里我们将初始的模型限制为只考虑以下变量：平均每日成本=(存储成本、运输成本、需求率)子模型储存费用 我们需要去考虑单位库存成本是如何随储存产品的数量大小而变化的。我们是否可以租赁其他公司的仓库，当储存数量达到一定的水平后可以获得折扣吗?还是先租用最便宜的仓库(有需要时增加更多的空间),如图12-1b所示?我们是否需要租用整座仓库或楼层吗?如果是这样,单位产品的存储费用似乎会随着储存数量的增加而减少，直到需要租用另仓库或楼层，如图12-1c所示。公司是
8、否拥有自己的仓储设施?如果是，这些设备还有什么其他用途?在我们的模型中，我们认为单位产品的储存费用是常数。送货费用 在很多情况下所需费用与送货数量是有关的。例如,如果需要一个更大的卡车或额外增加货车，就还有一个额外的费用。在我们的模型中，我们假设送货费用是常数，与送货量无关。需求 对某一特定的加油站，如果我们绘制出它对汽油日常需求量图,我们将很有可能得到图一张类似如图12-2a的图。如果我们绘制出一定时期内(例如,1年)内不同的需求量发生的频率,我们可能会得到一张如图12-2b所示的图。如果这些需求量很紧凑地分布在频率最大的需求量周围，那么我们可以认为需求量是常数（假设这就是我们在这里的模型中
9、要考虑的情形）。最后,虽然我们知道需求是发生在离散时间段上，为了简单起见,我们认为需求是发生在连续的时间段上。这种连续需求的模型如图12-2c所示,其中的斜率代表常数需求率。请注意，我们假设需求模型是线性的，这一点很重要。此外,如图12-2b所示,约有半数时间的需求超过其平均值。当我们考虑不能满足的可能性时，我们将在实施阶段考察这一假设的重要性。模型建立在构建模型时，我们使用如下的符号:每加仑汽油储存一天的费用每次送货的送货费用需求率（加仑/每天）每次订货的汽油量（加仑） 时间（天）现在,假设在 = 0时刻，一定数量的汽油（如=）到货,并且这些汽油在=天以后用完。然后以相同周期重复,如图12-
10、3所示。图中每条直线的斜率是-r(需求率的相反数)。问题是确定一个订货量,以及一个订货周期,使得储存费用和送货费用最小。我们需要找到平均每日费用的表达式,所以考虑长度为天的一个周期内的储存费用和送货费用。因为一个周期内只送一次货，所以送货费用是常数。为了计算储存费用,以每日平均库存,乘以储存天数,再乘以每加仑汽油储存一天的储存费用。可用以下符号表示： 每个周期的费用=上式再除以t，得到日平均费用 模型求解 显然,需要最小化的费用函数有两个自然变量和。然而,从图12-3得出到两个变量是相关的。对一个周期来说,送货量等于需求量，即。所以，平均费用为： (12-2)式(12-2)是一个双曲线函数和一
11、个线性函数的和。如图12-4所示。下面我们来寻找订货之间的时间间隔,使日平均费用最小。将对求导，并令=0。得到： 由该方程得到的驻点（只取正值）为： (12-3)该驻点是费用函数的一个局部极小点，因为对任何正的，二阶导数： 总是正的。图12-4清楚地表明给出的也是全局最小点。此外,从公式(12-3)可以得到,所以也是图12-4中的线性函数与双曲线的交点。模型解释 给定一个常量需求率,式 (12-3)表明最优周期与成比例。直观上看,我们希望当送货费用增加，储存费用减少时，应当增加，我们的模型至少从这一点上来看是合理的。此外,式（12-3）所表示的关系式很有趣的。我们将送货费用、储存费用、需求率的
12、子模型都假设成非常简单的关系。为了分析具有更复杂的子模型的模型,我们需要从数学上分析前面是如何处理的。为了确定存储的产品-天数,我们计算了一个周期内曲线下方的面积。因此,一个周期内的储存费用可以用积分计算: 这个式子中最后一个等式是将代入而得到的,结果与前面得到的每个周期内的储存费用相同。为了将结果推广到其他假设条件的情形，认清背后的数学结构是很重要的。我们将会看到，分析模型对于假设条件的变化的敏感性，也是很有用的。在前面的分析中，我们的一个假设是忽略汽油本身的成本费用。那么,实际上汽油的成本是否会影响最优订货量和订货周期呢?因为每个周期的采购数量是,如果每加仑汽油的成本是美元,那么日平均费用
13、应当增加一个常量。由于这是一个常数,而常量的导数是0，所以它不会影响。因此,忽略汽油本身的成本是正确的。在更精细的模型中，可以考虑由于库存的资金投入导致的利息损失。模型实施 再次想想图12-3，模型中假设库存在每个周期中全部用完，并假设所有的需求立即得到满足，这些假设所依据的日平均需求为加仑/天。注意到这样的假设意味着,从长远来看,对约一半的周期时间来说，在该周期结束、下次到货之前,加油站会发生缺货；对另一半来说，在该周期结束、下次到货时，加油站还会有汽油剩下来。这种情况可能不会对咨询者的信誉有好处!所以让我们来考虑一下推荐加油站采用缓冲库存防止缺货发生，如图12-5所示。在图12-5中，我们
14、使用了最优周期和最优订货量的符号，这些值是根据我们的模型，按照式（12-3）计算得到的。让我们考察缓冲库存对库存策略的影响。我们已经观察到，一个周期内的存储费用是用一个周期内曲线下方的面积，乘以常数。现在缓冲库存的效果是，在前面计算的曲线下方的面积上额外增加了一个常数面积。因此,常量应加到日平均费用中,结果的值与没有缓冲库存时一样。所以，加油站与前面一样，订货量任然是，虽然这时最大库存量变成了。通过确定维持缓冲库存的日平均费用，管理者可以确定持有多大的缓冲库存。管理者为了确定持有多大的缓冲库存，还有哪方面的信息是有用的呢？我们的数学分析非常直接和精确的。然而,我们是否能获得足够的数据来精确估计
15、、的取值呢？也许不可能。此外,费用对这些参数发生改变时的敏感性如何?这些一个咨询员必须要考虑的问题。也请大家注意,我们可能会将舍入为一个整数值，那么应该怎么舍入？向上取整数还是向下取整数更好些?当然，对一个给定的问题，我们可以用不同的值代入式（12-2）中取代，看看费用如何变化。下面让我们用导数方法更一般地确定日平均费用的曲线形状。我们知道日平均费用的曲线达到最小值。日平均费用的一阶导数表示的是它的变化率（或称为边际费用），由式（12-2）可知一阶导数是。边际费用的导数是，对任何正数，它总是正的，并随着的增加而减少。可以注意到，当趋近0时，边际费用的导数趋近于无穷大；而当趋近于无穷大时，边际费用的导数趋近于0.因此，在的左边，边际费用是负的，并且当趋近于0时，边际费用变得越来越陡；在的右边，当趋近于无穷大时，边际费用趋近于常数。请对照图12-4中的图形，从经济上解释这些结论的意义。1
