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1、第一讲 数学思维的变通性一、概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练： （1）善于观察（2）善于联想（3）善于将问题进行转化（1）观察能力的训练任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但
2、能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。例1 已知都是实数，求证 思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而xyO图121左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。证明 不妨设如图121所示，则 在中，由三角形三边之间的关系知： 当且仅当O在AB上时，等号成立。 因此， 例2 已知，试求的最大值。解 由 得又当时，有最大值，最大值为思路分析 要求的最大值，由已知条件很快将变为一元二次函数然后求极值点的值，联系到，这一条件，既快又准地求出最大值。上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思
3、维的变通性。例3 已知二次函数满足关系，试比较与的大小。xyO2图122思路分析 由已知条件可知，在与左右等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像关于直线对称，又由已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致图像简捷地解出此题。解 （如图122）由，知是以直线为对称轴，开口向上的抛物线它与距离越近的点，函数值越小。（2）联想能力的训练联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。例如，解方程组.这个方程指明两个数的和为，这两个数的积为。
4、由此联想到韦达定理，、是一元二次方程 的两个根，所以或.可见，联想可使问题变得简单。例4 在中，若为钝角，则的值(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能确定思路分析 此题是在中确定三角函数的值。因此，联想到三角函数正切的两角和公式可得下面解法。解 为钝角，.在中且故应选择（B）例5 若思路分析 此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。证明 当时，等式 可看作是关于的一元二次方程有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1 ，根据韦达定理就有： 即 若，由已知条
5、件易得 即,显然也有.例6 已知均为正实数,满足关系式,又为不小于的自然数，求证:思路分析 由条件联想到勾股定理,可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。证明 设所对的角分别为、则是直角，为锐角，于是 且当时，有于是有即 从而就有 （3）问题转化的训练数学家G . 波利亚在怎样解题中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。例如，已知
6、,求证、三数中必有两个互为相反数。恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为：思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。 转化成容易解决的明显题目 例11 已知求证、中至少有一个等于1。思路分析 结论没有用数学式子表示，很难直接证明。首先将结论用数学式子表示，转化成我们熟悉的形式
7、。、中至少有一个为1，也就是说中至少有一个为零，这样，问题就容易解决了。证明 于是 中至少有一个为零，即、中至少有一个为1。思维障碍 很多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个为1，其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌生问题变为熟悉问题。因此，多练习这种“翻译”，是提高转化能力的一种有效手段。例12 直线的方程为，其中；椭圆的中心为，焦点在轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的一个顶点为，问在什么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点的距离等于该点到直线的距离。思路分析 从题目的要求及解析几何的知识可知，四个不同的点应在抛物线 （1）是，又
8、从已知条件可得椭圆的方程为 （2）因此，问题转化为当方程组（1）、（2）有四个不同的实数解时，求的取值范围。将（2）代入（1）得： （3）确定的范围，实际上就是求（3）有两个不等正根的充要条件，解不等式组： 在的条件下，得本题在解题过程中，不断地把问题化归为标准问题：解方程组和不等式组的问题。 逆向思维的训练逆向思维不是按习惯思维方向进行思考，而是从其反方向进行思考的一种思维方式。当问题的正面考虑有阻碍时，应考虑问题的反面，从反面入手，使问题得到解决。例13 已知函数，求证、中至少有一个不小于1.思路分析 反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的解题方法。当要证结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用反证法。证明 （反证法）假设原命题不成立，即、都小于1。则 得 ，与矛盾，所以假设不成立，即、中至少有一个不小于1。 一题多解训练 由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”。通过一题多解训练，可使学生认真观察、多方联想、恰当转化，提高数学思维的变通性。例14 已知复数的模为2，求的最大值。解法一（代数法）设解法二（三角法）设yxOi-2i图123Z则 解法三（几何法）如图123 所示，可知当时，解法四（运用模的性质）而当时，解法五（运用模的性质） 又
