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1、高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质本讲测评1新人教A版选修4-1第一讲 相似三角形的判定及有关性质本讲检测一、选择题(每小题5分,共60分)1.如图1-9,在ABC中,BAC=90,D是BC的中点,AEAD交CB延长线于E,则结论正确的是( )图1-9A.AEDACB B.AEBACDC.BAEACE D.AECDAC解析：D是BC的中点,AD=BC=BD=DC.ABD=BAD.EAB+BAD=90,C+ABD=90,EAB=C.BAEACE.答案:C2.如图1-10,DE是ABC的中位线,FG为梯形BCED的中位线,若DE=4,则FG等于( )图1-10A.6 B.8 C.10 D.1
2、2解析：DE是ABC中位线,DEBC.FG是梯形BCED中位线,FGDE.=.FG=DE=4=6.答案:A3.ABC的三边长分别为,2,ABC的四边长分别为1和.如果ABCABC,那么ABC的第三边长为( )A. B. C. D.解析：,设第三边长为x,则,x=2.答案:A4.如图1-11,D是ABC的AB边上的一点,要使ACDABC,则它们还必须具备的条件是( )图1-11A.ACCD=ABBC B.CDAD=BCACC.CD2=ADDB D.AC2=ADAB解析：若使两三角形相似,已含公共角A,则需夹此角的两边对应成比例.AC2=ADAB,=.又A是公共角,ACDABC.答案:D5.如图1
3、-12,ABC中,DEBC,ADDB=12,则下列结论中错误的是( )图1-12A.= B.=C.= D.=解析：DEBC,=.DEBC,ADEABC.=.=()2=,故C错误.而=正确.答案:C6.如图1-13,已知ABCD是正方形,E是CD的中点,P是BC边上的一点,下列条件,不能推出ABP与ECP相似的是( )图1-13A.APB=EPC B.APE=90C.P是BC的中点 D.BPBC=23解析：ABCD是正方形,AB=BC=CD=AD,B=C=90.当A成立时,APB=EPC,有ABPECP;当APE=90时,也可证出APB=PEC.ABPECP也成立.当BPBC=23时,可以推出P
4、CBP=12,而ECAB=12,又B=C=90,ABPECP.当P是BC的中点时，无法推出ABPECP.答案:C7.如图1-14,在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点,AEEF,则下列结论正确的是( )图1-14A.BAE=30 B.CE2=ABCF C.CF=CD D.ABEAEF解析：ABCD是正方形,B=C=90.1+3=90,2+3=90,1=2.ABEECF.ECBE=ABCF.E是BC中点,BE=CE,CE2=ABCF.而其他结论均无法推出.答案:B8.如图1-15,等腰直角ABC中,AD是直角边BC上的中线,BEAD,交AC于E,EFBC，若ABBC=a,则EF等于
5、( )图1-15A.a B.a C.a D.a解析：设EF为x,ABC为等腰直角三角形,EFBC,EFC为等腰直角三角形.BF=BC-CF=a-x.在RtABD中,BAD+BDA=90,DBH+BDA=90.BAD=DBE.ABDBFE.解得x=a.答案:A9.如图1-16,已知AD是ABC的中线,E是AD上的一点,CE交AB于F,且=,则等于( )图1-16A. B. C. D.解析：过D作DGCF,CD=BD,FG=GB.EFDG,=.=.答案:B10.如图1-17,ABCD中,E是BC上一点,BEEC=23,AE交BD于F,则BFFD等于( )图1-17A.25 B.35 C.23 D.
6、57解析：BEEC=23,BEBC=25.又ABCD中,ADBC,BEAD=25.BEFDAF.BFFD=BEAD=25.答案:A11.若m=,则m的值为( )A. B.-1 C.或-1 D.解析：当x+y+z=0时,m=-1.当x+y+z0时,m=.答案:C12.如图1-18,梯形ABCD,ABCD,E是对角线AC和BD的交点,SDECSDBC=13,则SDCESABD为( )图1-18A.15 B.16 C.17 D.19解析：DEC与DBC同高,SDECSDBC=DEDB=13.DCAB,DCEBAE.=()2=.又DEC与ADE同高,=.SDCESABD=16.答案:B二、填空题(每小
7、题4分,共16分)13.两个相似三角形的面积比是12,则它的外接圆面积之比是_.解析：三角形面积比等于相似比的平方,而相似三角形外接圆面积之比也等于相似比的平方.答案:1214.如图1-19,已知DEBC,DFAC,AD=4,BD=8,DE=5,则BF=_.图1-19解析：DEBC,DFAC,DECF是平行四边形.FC=DE=5.DFAC,=,即.BF=10.答案:1015.如图1-20,已知ABC中,AD是BC边上的中线,F是AD上一点,且AFFD=15,连结CF并延长交AB于E,则AEEB=_.图1-20解析：过D作DHCE交AB于H,DHEF,=15.DHCE,D为中点,HE=HB.AE
8、EB=110.答案:11016.已知在梯形ABCD中,ABCD,对角线相交于O,AOB与COD的面积分别为p2和q2,则梯形ABCD的面积是_.图1-21解析：DCAB,CODAOB.=()2.=()2.=.=,=,SAOD=pq.同理,SBOC=pq.S梯形ABCD=SCOD+SAOD+SBOC+SAOB=q2+pq+pq+p2=(p+q)2.答案:(p+q)2三、解答题(共74分)17.(12分)如图1-22,已知ABCD中,P为对角线BD上的点,过P作直线分别交BA、BC的延长线于Q、R,交CD、AD于S、T,求证:PQPT=PRPS.图1-22证明:ABCD,=.TDBR,=.=.PQ
9、PT=PRPS.18.(12分)如图1-23,延长正方形AEDC的边DC到B,连结BE交AC于F,作FGBD,交AB于G.求证:GF=FC.图1-23证明:FCED,=.GFAE,=.=.ABCD为正方形,AE=ED.GF=FC.19.(12分)在ABC中,M是AC的中点,E是AB上一点,且AE=AB,连结EM并延长交BC的延长线于D,求证:BC=2CD.图1-24证明:过C作CFDE,交AB于F,=,.AM=MC,EF=AE=AB.BF=AB.=2.=2.BC=2CD.20.(12分)如图1-25,已知C是线段AB上一点,ACD与BCE是两个等边三角形,AE交CD于G,BD交CE于H,求证:
10、GHAB.图1-25证明:ACD与BCE是等边三角形,ACD=CBE=60.DCBE.=,=.BC=BE,AC=DC,=.=.GHAB.21.(12分)如图1-26,已知AE、AF分别为ABC的内外角平分线,O为EF中点,求证:=.图1-26证明:AE、AF分别是ABC的内外角平分线,AEAF.O为EF的中点,OA=OE,OEA=OAE.OAE=CAE+OAC,OEA=B+BAE,BAE=CAE,OAC=B.又BOA=AOC,OBAOAC.=.又=,=.22.(14分)如图1-27,在ABC中,BA=BC=20 cm,AC=30 cm,点P从A点出发,沿AB以每秒4 cm的速度向B点运动,同时,点Q从C点出发,沿CA以每秒3 cm的速度向A运动.设运动的时间为x.(1)当x为何值时,PQBC.(2)当=时,求.(3)APQ能否与CQB相似?若能,求出AP的长;若不能,请说明理由.图1-27解:(1)AP=4x,AQ=AC-CQ=30-3x.PQBC,.x=,即当x=秒时PQBC.(2)=x=.由(1)知PQBC,=.(3)A=C,当=或时,APQCQB.当=时,.x=.AP=4x=.当时,即x2+5x-50=0.解得x1=5,x2=-10(舍去).AP=4x=20.当AP=cm或20 cm时,APQ与CQB相似.1
